Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Capítulo 3
A Equação Não Linear de
Korteweg-de Vries
Nesta seção analisaremos a existência, unicidade e o comportamento assintótico
das soluções do problema
⎧
u t + u x + u xxx + uu x + a(x)u = 0, em Ω × R +
⎪⎨ u(0, t) = u(L, t) = 0, ∀ t > 0
(3.1)
u x (L, t) = 0, ∀ t > 0
⎪⎩ u(x, 0) = u 0 (x), ∀ x ∈ Ω.
Observemos que a energia associada a (3.1) é dada por
e satisfaz
E(t) = 1 2
∫ L
0
u 2 (x, t)dx, (3.2)
∫
d
L
dt E(t) = − a(x)u 2 (x, t)dx − 1 2 u2 x(0, t) ≤ 0; (3.3)
ou seja; E é uma função não crescente.
0
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