Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Este fato, junto com a lei de dissipação da energia (3.3) e a propriedade
de semigrupo associado ao modelo, é suficiente para obter o decaimento exponencial
local uniforme de E(t).
obtemos
T
∫ L
0
pois
u 2 0dx =
∫ T ∫ L
0
∫ T ∫ L
0
0
0
u 2 dxdt+
∫ T
(T − t)u 2 u x dxdt =
∫ T
Logo, de (3.27) deduzimos que
0
0
De fato, escolhendo q(x, t) = (T − t),
∫ T
(T −t)u 2 x(0, t)dt+2
0
∫ T
0
T − t
3
∫ L
(u 3 (L, t) − u 3 (0, t))dt = 0.
0
∫ L
0
d
dx u3 dxdt =
(T −t)a(x)u 2 dxdt
(3.27)
‖u 0 ‖ 2 L 2 (Ω) ≤ 1 T
∫ T ∫ L
0
0
∫ T
∫ T
u 2 dxdt+ u 2 x(0, t)dt+2
0
0
∫ L
0
a(x)u 2 dxdt. (3.28)
Assim para provar (3.26) é suficiente mostrar que para todo T > 0 e
R > 0, existe uma constante positiva c 1 = c 1 (R, T ), tal que
∫ T ∫ L
0
0
∫ T
∫ T
u 2 dxdt ≤ c 1 { u 2 x(0, t)dt + 2
0
0
para qualquer solução de (3.1) com ‖u 0 ‖ L 2 (Ω) ≤ R.
∫ L
0
a(x)u 2 dxdt} (3.29)
A demonstração será feita usando um argumento de contradição. Suponhamos
que (3.29) não se verifique. Então, existe uma sequência de funções
{u n } ⊂ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) ∩ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)) que resolvem (3.1), satisfazendo
‖u n (·, 0)‖ L 2 (Ω)
≤ R e tal que
lim
n−→∞
∫ T
0
u 2 n,x(0, t)dt + 2
‖u n ‖ 2 L 2 (0,T ;L 2 (Ω))
∫ T ∫ L
0
0
a(x)u 2 ndxdt
= +∞. (3.30)
58