Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

está bem definida, é linear e contínua.
Denota-se por D ′ (0, T ; X) o espaço das distribuições vetoriais sobre (0, T )
com valores em X, isto é, o espaço das aplicações lineares e contínuas de
D(0, T ) em X. Deste modo, T v ∈ D ′ (0, T ; X) e demostra-se que T v é univocamente
definida por v. Logo, identificando a função v com a distribuição
T v, pode-se afirmar que
L p (0, T ; X) ⊂ D ′ (0, T ; X).
Conclui-se, deste fato, que toda v ∈ L p (0, T ; X) possui derivadas de todas as
ordems no sentido das distribuições vetoriais sobre (0, T ).
Definição 1.6.2. Seja T ∈ D ′ (0, T ; X).
A derivada de ordem n de T é
definida como sendo a distribuição vetorial sobre (0, T ) com valores em X
dada por
〈 〉 〈 〉
d n T
dt , ϕ = (−1) n T, dn ϕ
.
n dt n
Por C([0, T ]; X), 0 < T < ∞, representa-se o espaço de Banach das
funções contínuas u : [0, T ] −→ X, munido da norma da convergência uniforme
‖u‖ C([0,T ];X)
= max t∈[0,T ] ‖u(t)‖ X
.
Lema 1.6.2. Sejam V e H espaços de Hilbert tais que V ↩→ H com imersão
contínua. Se u ∈ L p (0, T ; V ) e u ′ ∈ L p (0, T ; H) onde 1 ≤ p ≤ ∞ e T > 0
então u ∈ C([0, T ]; H).
Demonstração. Ver [10]
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