Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

∫ T
‖yy x − zz x ‖ L 1 (0,T ;L 2 (Ω))
=
=
≤
≤
+
∫0
T
∫0
T
∫0
T
∫ 0 T
0
‖yy x − zz x ‖ L 2 (Ω) dt
‖yy x − zy x + zy x − zz x ‖ L 2 (Ω) dt
∫ T
‖(y − z)y x ‖ L 2 (Ω) dt + ‖(y x − z x )z‖ L 2 (Ω) dt
‖y − z‖ L ∞ (Ω) ‖y x‖ L 2 (Ω) dt
‖y x − z x ‖ L 2 (Ω) ‖z‖ L ∞ (Ω) dt
∫ T
≤ c 1 ‖y − z‖ H 1 (Ω) ‖y x‖ H 1 (Ω) dt
0
∫ T
+c 1 ‖y − z‖ H 1 (Ω) ‖z‖ H 1 (Ω) dt
0
∫ T
≤ c 1 (‖y‖ H 1 (Ω) + ‖z‖ H 1 (Ω) ) ‖y − z‖ H 1 (Ω) dt
≤ c 1 (
+c 1 (
∫0
T
∫ 0 T
0
‖y − z‖ 2 H 1 (Ω) dt)1/2 (
‖y − z‖ 2 H 1 (Ω) dt)1/2 (
0
∫ T
‖y‖ 2 H 1 (Ω) dt)1/2
∫ 0 T
‖z‖ 2 H 1 (Ω) dt)1/2
0
≤ c 1 ‖y − z‖ L 2 (0,T ;H 1 (Ω)) (‖y‖ L 2 (0,T ;H 1 (Ω)) + ‖z‖ L 2 (0,T ;H 1 (Ω)) ).
Fazendo z = 0 obtemos que yy x ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) e que aplicação y −→
yy x é contínua.
2) Dado que
∥ 1[0,t] (s)S(t − s)f(·, s) ∥ ∥
L 2 (Ω) ≤ ‖f(·, s)‖ L 2 (Ω) ∈ L1 (0, T ),
segue do Teorema de Lebesgue que S(t−s)f(·, s) ∈ L 1 (0, T ). Logo, a solução
fraca de (3.5)
y(·, t) =
∫ t
0
S(t − s)f(·, s)ds ∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)).
Além disso, para todo t ∈ [0, T ]
∫ t
‖y(·, t)‖ L 2 (Ω)
=
∥ S(s − t)f(·, s)ds
∥ ≤
L 2 (Ω)
0
≤ ‖f‖ L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) .
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∫ t
0
‖f(·, s)‖ L 2 (Ω) ds