Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

ou seja;
{u n } é limitada em H −1 (0, T ; H 3 (Ω)).
Em particular,
u n,x (0, t) é limitada em H −1 (0, T ),
já que, para t ∈ (0, T ) temos que u n,x (·, t) ∈ H 2 (Ω) ↩→ C([0, L]). Assim,
podemos extrair uma subsequência (que ainda será denotada por u n ), tal
que
u n,x (0, t) ⇀ u x (0, t) em H −1 (0, T )
quando n −→ +∞, o que mostra (2.12) . Agora, com esta subsequência
retornamos a (2.10) e obtemos que {u n,x (0, t)} é limitada em L 2 (0, T ) . Novamente,
podemos extrair uma subsequência que será convergente, no sentido
fraco em L 2 (0, T ) e que, junto com a discussão acima, mostra que.
u n,x (0, t) ⇀ u x (0, t) em L 2 (0, T ), quando n −→ ∞.
Finalmente, a semicontinuidade inferior da norma, (2.10), (2.11) e (2.12)
implicam que
∫ T
0
u 2 x(0, t)dt ≤ lim inf
n−→∞
∫ T
0
u 2 nx(0, t)dt ≤ 2E(u 0 ) < ∞.
Portanto, u x (0, t) existe e pertence a L 2 (0, T ) .
(2.11) que
Além disso, segue de
E(t) = 1 2 ‖u(·, t)‖2 H . (2.16)
Agora, mostraremos que para qualquer T > 0, existe c = c(T ) > 0,
satisfazendo
‖u 0 ‖ 2 L 2 (Ω) ≤ c{ ∫ T
0
∫ T
u 2 x(0, t)dt + 2
0
39
∫ L
0
a(x)u 2 dxdt}. (2.17)