Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

{v n }, tal que ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
v n −→ v em L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
Portanto, v n,t ∈ L 2 (0, T ; H −2 (Ω)). Por outro lado, juntando os fatos
anteriores obtemos que
‖v n ‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ 1; ‖v n‖ L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)) ≤ c 1; ‖v n,t ‖ L 2 (0,T ;H −2 (Ω)) ≤ c 2
onde c 1 , c 2 > 0. As limitações acima, junto com um resultado de compacidade
clássico [18, Corolário 4], nos garantem que existe uma subsequência {v k } de
Como
v n ⇀ ∗ v em L 2 (0, T ; H 1 0(Ω))
v n,t ⇀ ∗ v t em L 2 (0, T ; H −2 (Ω)).
‖v k ‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) = 1
e
∣ ∥ ∥ vk ∥L 2 (0,T ;L 2 (Ω))− ∥ ∥ v∥L ∣ ≤ ‖v 2 (0,T ;L 2 (Ω)) k − v‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) −→ 0
quando k −→ +∞, segue-se que
Por outro lado,
‖v‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) = 1.
∫ T
0 = lim { vk,x(0, 2 t)dt + 2
n−→+∞
0
∫ T
= lim inf { vk,x(0, 2 t)dt + 2
n−→+∞
≥
∫ T
0
0
v 2 x(0, t)dt + 2
∫ T ∫ L
0
0
∫ T ∫ L
0 0
∫ T ∫ L
0
0
a(x)v 2 dxdt,
a(x)v 2 kdxdt}
a(x)v 2 kdxdt}
o que nos garante que a(x)v 2 ≡ 0. Como a(x) ≥ a 0 > 0 em ω ∈ Ω, segue que
v ≡ 0 em ω × (0, T ) . Por outro lado, o limite de v satisfaz
−
∫ T
0
(v, ϕ)θ t dt +
∫ T
0
(v x , ϕ)θdt +
42
∫ T
0
(v x , ϕ xx )θdt = 0,