Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

2.1.1 Caso a ≡ 0
Nesse caso, (2.1) se reduz ao modelo
⎧
u t + u x + u xxx = 0, em Ω × R +
⎪⎨ u(0, t) = u(L, t) = 0, ∀ t > 0
u x (L, t) = 0, ∀ t > 0
⎪⎩ u(x, 0) = u 0 (x), ∀ x ∈ Ω
(2.3)
A existência e unicidade, serão obtidas utilizando a Teoria de Semigrupos.
Observe que, formalmente,
ou seja;
Logo,
por
E(t) = 1 2
∫ L
0
1
2
∫ L
0
1 d
2 dt
∫ L
0
u 2 (x, t)dx − 1 2
u 2 (x, t)dx ≤ 1 2
∫ L
0
u 2 (x, t)dx ≤ 0;
∫ L
0
u 2 (x, 0)dx ≤ 0.
u 2 (x, 0)dx = 1 2
∫ L
0
u 2 0(x)dx = E(0).
Portanto, escolhendo H = L 2 (Ω) e considerando o operador A definido
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Aw = −w ′′′ − w ′
A : D(A) ⊂ H −→ H
D(A) = {u ∈ H 3 (Ω) ∩ H 1 0(Ω); u x (L) = 0}
(2.4)
(2.3) pode ser escrito como
⎧
⎨
⎩
d
dt u = Au
u(0) = u 0 .
(2.5)
Proposição 2.1.1. Nas condições anteriores, temos que A gera um semigrupo
de contrações de classe C 0 em H.
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