Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

∀ ϕ ∈ D(Ω) e θ ∈ D(0, T ). Então, pelo Teorema de Unicidade de Holmgren,
deduzimos que v ≡ 0 em Ω × (0, T ), o que contradiz à ‖v‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) = 1.
Consequentemente, (2.19) é valida . Por outro lado, de (2.9)
∫ T
‖u(·, T )‖ 2 L 2 (Ω) = ‖u 0‖ 2 L 2 (Ω) − u 2 x(0, t)dt − 2
Logo,
(1 + c) ‖u(·, T )‖ 2 L 2 (Ω)
= (1 + c){‖u 0 ‖ 2 L 2 (Ω) − ∫ T
Consequentemente,
≤
0
0
∫ T ∫ L
∫ T
c ‖u 0 ‖ 2 L 2 (Ω) − { u 2 x(0, t)dt + 2
≤ c ‖u 0 ‖ 2 L 2 (Ω) .
‖u(·, T )‖ 2 L 2 (Ω) ≤ γ ‖u 0‖ 2 L 2 (Ω) ,
0
0
0
a(x)u 2 dxdt.
∫ T
u 2 x(0, t)dt − 2
0
∫ T ∫ L
0
0
∫ L
0
a(x)u 2 dxdt}
a(x)u 2 dxdt}
com 0 < γ =
c < 1. Portanto, pela propriedade de semigrupo associado
c + 1
ao modelo, concluímos a demonstração.
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