Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Seja λ n = ‖u n ‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) e definamos v n(x, t) = u n (x, t)/λ n . Para cada
n ∈ N, a função v n satisfaz
⎧
v n,t + v n,x + v n,xxx + λ n v n v n,x + a(x)v n = 0 em Ω × (0, T )
⎪⎨ v n (0, t) = v n (L, t) = 0 ∀ t ∈ (0, T )
e
⎪⎩
que
∫ T
0
v n,x (L, t) = 0 ∀ t ∈ (0, T )
v n (x, 0) = v n,0 = u n (x, 0)/λ n em Ω,
∫ T
vn,x(0, 2 t)dt + 2
0
(3.31)
‖v n ‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω))
= 1, (3.32)
∫ L
0
a(x)v 2 ndxdt −→ 0, quando n −→ ∞. (3.33)
Usando (3.28) segue que v n (·, 0) é limitada em L 2 (Ω) e por (3.25) segue
‖v n ‖ L 2 (0,T ;H0 1 (Ω))
≤ c., ∀ n ∈ N, (3.34)
para alguma constante c > 0. Por outro lado, v n v n,x ∈ L 2 (0, T ; L 1 (Ω)) e
∫ T
‖v n v n,x ‖ L 2 (0,T ;L 1 (Ω))
= (
≤ (
0
∫ T
0
‖v n v n,x ‖ 2 L 1 (Ω) dt)1/2
‖v n ‖ 2 L 2 (Ω) ‖v n,x‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2
∫ T
≤ ( sup ‖v n ‖ 2 L 2 (Ω) )1/2 ( ‖v n,x ‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2
0≤t≤T
0
≤ ‖v n ‖ L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ‖v n‖ L 2 (0,T ;H0 1(Ω)) .
Assim, por (3.34) garantimos que existe c > 0, tal que
‖v n v n,x ‖ L 2 (0,T ;L 1 (Ω))
≤ c. (3.35)
Agora, observe que {λ n } é limitada. De fato, como v n (x, 0) é limitada em
L 2 1
(Ω) e ‖u n (x, 0)‖ ≤ R segue de
|λ n | ‖u n(x, 0)‖ L 2 (Ω) = ‖v n(x, 0)‖ L 2 (Ω) que
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