Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

que define uma distribuição sobre Ω.
∫
〈T, ϕ〉 = 〈T u , ϕ〉 = u(x)ϕ(x)dx,
Ω
Lema 1.2.1. (Du Bois Reymond). Seja u ∈ L 1 loc (Ω). Então, T u = 0 se, e
somente se, u = 0 quase sempre em Ω.
Observação 1.2.2. Como consequência do Lema 1.2.1, a aplicação
é linear, contínua e injetiva.
L 1 loc(Ω) −→ D ′ (Ω)
u −→ T u
Em decorrência disso, é comum identificar
a distribuição T u com a função u ∈ L 1 loc (Ω). Nesse sentido, tem-se que
L 1 loc (Ω) ⊂ D′ (Ω). Como L p (Ω) ⊂ L 1 loc (Ω) temos que toda função de Lp (Ω)
define uma distribuição sobre Ω, isto é, toda função de L p (Ω) pode ser vista
como uma distribuição.
Definição 1.2.3. Sejam T ∈ D ′ (Ω) e α ∈ N. A derivada de ordem α de T ,
denotada por D α T , é definida por:
〈D α T, ϕ〉 = (−1) α 〈T, D α ϕ〉 , ∀ϕ ∈ D(Ω).
Com esta definição, tem-se que se u ∈ C k (Ω) então D α T u = T D α u, para
todo α ≤ k, onde D α u indica a derivada clássica de u. Se T ∈ D ′ (Ω) então,
D α T ∈ D ′ (Ω) para todo α ∈ N.
1.3 Espaços Sobolev
Os resultados que enunciaremos, assim como suas demostrações, podem
ser encontrados em [1] e [2].
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