Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

o que completa a demonstração.
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Demonstração do Teorema 3.1.1.
Usando a fórmula de variação de parâmetros, o sistema (3.1) pode ser escrito
na forma integral
u(t) = S(t)u 0 +
∫ t
0
S(t − s)uu x (s)ds = ϕ(u)(t), (3.6)
onde {S(t)} t≥0 é o semigrupo associado à parte linear da equação e que, de
acordo com o Capítulo 2, satisfaz
‖S(t)u 0 ‖ L 2 (Ω) ≤ ‖u 0‖ L 2 (Ω) , ∀ t ≥ 0, ∀ u 0 ∈ L 2 (Ω), (3.7)
‖S(t)u 0 ‖ L 2 (0,T ;H0 1(Ω)) ≤ c(1 + √ T ) ‖u 0 ‖ L 2 (Ω) , ∀ t ≥ 0, ∀ u 0 ∈ L 2 (Ω). (3.8)
Para provar a existência e unicidade, introduzimos o espaço
X T = L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) ∩ L 2 (0, T ; H0(Ω)),
1
e verificamos que a aplicação
ϕ : X T −→ X T
é uma contração para algum T > 0 suficientemente pequeno.
De acordo a (3.7) e (3.8) temos S(t)u 0 ∈ X T , por outro lado pela Proposição
3.1.1, segue que aplicação que a cada u ∈ X T ⊂ L 2 (0, T ; H0(Ω)) 1 associa
uu x ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) é contínua. O mesmo acontece a aplicação que a cada
f = uu x ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) associa y ∈ L 2 (0, T ; H0(Ω)) 1 ∩ C([0, T ]; L 2 (Ω)) ⊂
X T também é contínua, o que mostra que ϕ aplica continuamente X T em si
mesmo.
Agora, mostraremos que ϕ é uma contração numa bola adequada de X T
quando T > 0 é pequeno. Obviamente,
ϕ(u) − ϕ(v) =
∫ t
0
S(t − s)(uu x (s) − vv x (s))ds, (3.9)
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