Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

e
∫ T
0
∫ T
vn,x(0, 2 t)dt + 2
0
∫ L
0
a(x)v 2 ndxdt −→ 0, quando n −→ ∞. (2.21)
Por outro lado, sendo v n solução do modelo (2.1) com dado inicial v n (x, 0),
v n (x, 0) verifica (2.18), como a ∈ L ∞ (Ω), por (2.20) e (2.21) temos que, é
limitada em L 2 (Ω), Consequêntemente,
Além disso,
‖v n ‖ 2 L 2 (0,T ;H 1 0
‖v n (·, t)‖ L 2 (Ω) ≤ M ∀ t ∈ [0, T ] .
(Ω))
≤ (T
+ L
3
) ‖v n (·, 0)‖ 2 L 2 (Ω) ≤ (T + L )M 2 (2.22)
3
para todo n ∈ N. A estimativa (2.22) junto com (2.20) nos diz que {v n.t } é
limitada em L 2 (0, T ; H −2 (Ω)). De fato, temos que
Além disso, temos que
v n,t = −v n,x − v n,xxx − a(x)v n .
e de
‖v n,x ‖ L 2 (0,T ;H −2 (Ω)) ≤ c ‖v n,x‖ L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) = c ‖v n‖ L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)),
|〈v n,xxx , ϕ〉| H −2 (Ω)×H 2 0 (Ω) = |〈v n,x , ϕ xx 〉| H −2 (Ω)×H 2 0 (Ω)
≤
≤
‖v n,x ‖ L 2 (Ω) ‖ϕ xx‖ L 2 (Ω)
‖v n ‖ H 1
0 (Ω) ‖ϕ‖ H 2 0 (Ω)
obtém-se
∫ T
‖v n,xxx ‖ L 2 (0,T ;H −2 (Ω))
= (
≤ c(
0
∫ T
0
‖v n,xxx ‖ 2 H −2 (Ω) dt)1/2
‖v n ‖ 2 H0 1 (Ω)
dt)1/2
= c ‖v n ‖ L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)) .
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