Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

3.1 Existência e Unicidade
Nesta seção, provaremos o seguinte teorema:
Teorema 3.1.1. Para todo u 0 ∈ L 2 (Ω), o problema (3.1) tem uma única
solução fraca
u ∈ L 2 loc(0, +∞; H0(Ω)) 1 ∩ L ∞ loc(0, +∞; L 2 (Ω)). (3.4)
Para demostrar o Teorema 3.1.1, precisaremos da seguinte proposição:
Proposição 3.1.1. Seja y solução do problema
⎧
y t + y x + y xxx = uu x = f, em Ω × (0, T )
⎪⎨ y(0, t) = y(L, t) = 0, ∀ t > 0
y x (L, t) = 0, ∀ t > 0
⎪⎩ y(x, 0) = 0, ∀ x ∈ Ω
(3.5)
Então,
1) se y ∈ L 2 (0, T ; H 1 (Ω)), yy x ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) e a aplicação y −→ yy x é
contínua;
2) para f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)), a solução fraca y de (3.5) pertence a B =
C([0, T ]; L 2 (Ω)) ∩ L 2 (0, T ; H 1 (Ω)). Além disso, a aplicação linear f −→ y é
contínua.
Demonstração.
Denotaremos por {S(t)} t≥0 o semigrupo de contrações associado à equação
linear correspondente.
1) Sejam y, z ∈ L 2 (0, T ; H 1 (Ω)). Como H 1 (Ω) ↩→ L ∞ (Ω), segue da desigualdade
triangular e da desigualdade de Hölder que
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