Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Assim,
∫ T ∫ L
0
0
vxdxdt 2 ≤ c + L
3δ
+ 1 3
∫ T
0
∫ T ∫ L
0
0
‖u‖ 2 (c + L)δ
L ∞ (Ω) ‖v‖2 L 2 (Ω)
dt +
3
v 2 dxdt + L 3
∫ L
0
∫ T ∫ L
0
0
v 2 xdxdt
v 2 0dx. (3.43)
Portanto, para um δ > 0, suficientemente pequeno, temos que existe
c > 0, tal que
∫ L
0
∫ T ∫ L
0
0
v 2 xdxdt ≤ c{
∫ L
0
v 2 0dx +
∫ T
Substituindo (3.44) em (3.40) obtemos
v 2 (x, T )dx
≤
≤
∫ L
0
∫ L
0
+c{
v 2 0dx +
v 2 0dx +
∫ L
0
≤ (c + 1){
∫ T
0
∫ T
0
v 2 0dx +
∫ L
0
0
(1 + ‖u‖ 2 L ∞ (Ω) ) ‖v‖2 L 2 (Ω)
dt}. (3.44)
‖u‖ 2 L ∞ (Ω) ‖v‖2 L 2 (Ω) dt + ∫ T
‖u‖ 2 L ∞ (Ω) ‖v‖2 L 2 (Ω) dt
∫ T
0
v 2 0dx +
0
∫ L
(1 + ‖u‖ 2 L ∞ (Ω) ) ‖v‖2 L 2 (Ω) dt}
∫ T
0
0
v 2 xdxdt
(1 + ‖u‖ 2 L ∞ (Ω) ) ‖v‖2 L 2 (Ω) dt}.
Logo, aplicando a desigualdade de Gronwall e o Teorema 3.1.1 garantimos
a existência de uma constante c > 0, tal que
Assim,
∫ T
‖v‖ 2 L 2 (Ω) ≤ c ‖v 0‖ 2 L 2 (Ω) exp(c (1 + ‖u‖ 2 H0 1(Ω))dt).
‖v‖ L ∞ (0,T ;L 2 (Ω))
onde C = C(T, ‖u 0 ‖ L 2 (Ω) , ‖v 0‖ L 2 (Ω) ).
0
≤ C, (3.45)
Por outro lado, combinando (3.44), (3.45) e o Teorema 3.1.1 segue que
‖v‖ 2 L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)) ≤ c{
≤
∫ L
0
v 2 0dx +
∫ T
c ‖v 0 ‖ 2 L 2 (Ω) + c ‖v‖2 L ∞ (0,T ;L 2 (Ω))
0
(1 + ‖u‖ 2 L ∞ (Ω) dt) ‖v‖2 L 2 (Ω) }
∫ T
0
(1 + ‖u‖ 2 L ∞ (Ω) )dt
≤ C, (3.46)
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