Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Capítulo 1
Resultados Preliminares
Nesta seção, daremos algums resultados que serão usados durante o desenvolvimento
do trabalho .
1.1 Distribuições
Seja u uma função real definida em Ω ⊂ R, u mesurável, e seja (O i ) i∈I a
família de todos os subconjuntos abertos O i de Ω, tais que u = 0 quase
sempre em O i . Considera-se o subconjunto aberto O = ∪ i∈I O i . Então, u = 0
quase sempre em O, como conseqüência, define-se o suporte de u que será
denotado por supp u, como sendo o subconjunto fechado de Ω
supp(u) = Ω/O
Definição 1.1.1. Representamos por C0 ∞ (Ω) o conjunto das funções u :
Ω −→ K cujas derivadas parciais de todas as ordens são contínuas e cujo suporte
é um subconjunto compacto de Ω. Os elementos de C0 ∞ (Ω) são chamados
de funções testes .
Naturalmente, C0 ∞ (Ω) é um espaço vetorial sobre K com as operações
usuais de soma de funções e de multiplicação por um escalar.
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