ExistÃªncia, Unicidade e Decaimento Exponencial das SoluÃ§ ... - UFRJ

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Sumário 1 Resultados Preliminares 11 1.1 Distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Espaços L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Espaços Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Imersões de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Interpolação de Espaços Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Espaços L p (0, T ; X) e Distribuições Vetoriais . . . . . . . . . . 18 1.7 Interpolação de Espaços L p (0, T ; X) . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.8 Desigualdades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.9 Semigrupos de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.9.1 Teorema de Lumer-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9.2 Teoria da Perturbação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 A Equação Linear de Korteweg-de Vries 28 2.1 Existência e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Caso a ≡ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Caso a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Decaimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Caso a ≡ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Caso a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4
3 A Equação Não Linear de Korteweg-de Vries 44 3.1 Existência e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Decaimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Decaimento Exponencial de Soluções de Pequenas Amplitudes 71 5
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1 2 Escolhendo q(x, t) = x, resulta
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Assim, podemos extrair uma subsequ
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Seja λ n = ‖u n ‖ L 2 (0,T ;L
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Além disso, ∫ T 0 = lim inf { n
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Demonstração. A demonstração da
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Assim, ∫ T ∫ L 0 0 vxdxdt 2 ≤
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e Assim ∫ T ‖uw n,x ‖ L 2 (0,
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é identicamente nulo, i.e., w ≡
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‖u(T )‖ L 2 (Ω) ≤ ‖u 0‖
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onde ⎧ ⎨ ϕ(x) = ⎩ v(x, 0) se
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Math. de Recheiches on Mathématiqu
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