Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

∫ T ∫ L
0
0
quu x dxdt =
= −
∫ T ∫ L
0 0
∫ T ∫ L
0
q d
2 dx (u2 )dxdt =
0
q x
u 2
2 dxdt
∫ T
0
( q 2 u2 | L 0 −
∫ L
0
q x
2 u2 dx)dt
∫ T ∫ L
0 0
qua(x)udxdt =
∫ T ∫ L
0 0
qa(x)u 2 dxdt
∫ T ∫ L
0
0
quu xxx dxdt =
∫ T ∫ L
0
0
∫ T
= −
= −
=
=
(quu xx | L 0 −
0
∫ T ∫ L
−
0
∫ T
0
0
∫ T ∫ L
0 0
∫ T ∫ L
0 0
∫ L
−
0
∫ T ∫ L
+
= −
+
0 0
∫ T
(q u2 x
0
∫ T ∫ L
0
∫ T
0
quuu x dxdt =
=
∫ L
0
q x uu xx dxdt −
(q x uu x | L 0 −
(q x u + qu x )u xx dx)dt
∫ L
0
q d
2 dx (u2 x)ddxdt
∫ T ∫ L
(q xx u + q x u x )u x dxdt −
q x
2 u2 xdx)dt
0
q xx
2
0
∫
d
T
dx u2 dxdt +
2 )(0, t)dt + ∫ T
0
qu x u xx dxdt
(q xx u + q x u x )u x dx)dt
0
u 2
q xxx
2 dxdt + 3 2
(q u2 x
)(0, t)dt
2
= 1 3
∫ T ∫ L
0 0
∫ T ∫ L
= − 1 3
0 0
∫ T
54
0
∫ T ∫ L
0
qu 2 u x dxdt
∫ L
0 0
∫ L
q 1 d
3 dx u3 dxdt
(qu 3 | L 0 −
0
∫ L
0
∫ T
0
0
∫ T ∫ L
0
q x u 3 dxdt
( q 2 u2 x| L 0
q x u 2 xdxdt
q x
2 u2 xdxdt
0
q x u 3 dx)dt
q x u 2 xdxdt