Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Demonstração.
Inicialmente, mostraremos que D(A) é denso em H, em seguida que A e A ∗
são dissipativos e, finalmente, que A é fechado.
1. D(A) é denso em H.
Como D(Ω) = H e D(Ω) ⊂ D(A) ⊂ H, o resultado segue.
2. A e A ∗ são dissipativos
Seja u ∈ D(A)
〈Au, u〉 H×H
=
∫ L
= −
0
∫ L
(Au)udx =
u x udx −
∫ L
0
∫ L
0
0
(−u x − u xxx )udx
u xxx udx = 1 2 u2 x(L) − 1 2 u2 x(0)
= − 1 2 u2 x(0) ≤ 0;
ou seja; A é dissipativo. Agora, observe que se u ∈ D(A) e v ∈ H é
um elemento a ser determinado, teremos que
〈Au, v〉 H×H
=
∫ L
0
= −uv| L 0 +
=
=
∫ L
0
∫ L
(−u x − u xxx )vdx = −
∫ L
0
uv x dx + u x v x | L 0 −
uv x dx − uv xx | L 0 +
∫ L
uv x dx − u xx v| L 0 +
∫ L
0
∫ L
0
u x vdx −
∫ L
0
u x v xx dx
uv xxx dx =
∫ L
0
u xx v x dx
∫ L
0
0
0
u xxx vdx
u(v x + v xxx )dx,
se assumimos que v(0) = v(L) = v x (0) = 0. Portanto, o adjunto de A
é definido por
⎧
A ⎪⎨
∗ w = w ′′′ + w ′
A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ H −→ H
⎪⎩ D(A ∗ ) = {w ∈ H 3 (Ω) ∩ H0(Ω); 1 w x (0) = 0}.
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