Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Proposição 1.9.3. Seja S um semigrupo de classe C 0 e A o gerador infinitesimal
de S. Se x ∈ D(A), então S(t)x ∈ D(A) ∀t ≥ 0 e
d
S(t)x = AS(t)x = S(t)Ax.
dt
Definição 1.9.3. Seja S um semigrupo de classe C 0 e A seu gerador infinitesimal.
Colocando A 0 = I, A 1 = A e supondo que A k−1 esteja definido,
vamos definir A k por
D(A k ) = {x ∈ D(A k−1 ) : A k−1 x ∈ D(A)}
A k x = A(A k−1 x), ∀x ∈ D(A k ).
Proposição 1.9.4. Seja S um semigrupo de classe C 0 e A o gerador infinitesimal.
Então
1. D(A k ) é um subespaço de X e A k é um operador linear de X;
2. se x ∈ D(A k ), então S(t)x ∈ D(A k ) t ≥ 0 e
3. ⋂ k D(Ak ) é denso em X.
d k
dt k S(t)x = Ak S(t)x = S(t)A k x, ∀k ∈ N;
Lema 1.9.1. Seja A um operador linear fechado de X. Pondo, para cada
x ∈ D(A k ),
| x| k
= ∑ k
j=0 ‖Aj x‖
o funcional | ·| k é uma norma em D(A k ) munido da qual D(A k ) é um espaço
de Banach.
Definição 1.9.4. A norma acima é dita norma do gráfico.
O espaço de
Banach que se obtém munindo D(A k ) da norma acima será representado
por [D(A k )].
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