Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

1.8 Desigualdades Importantes
Lema 1.8.1. (Desigualdade de Poincaré-Friedrichs). Seja Ω ⊂ R n um aberto
limitado. Se u ∈ H0(Ω), 1 então existe uma constante C > 0, tal que
‖u‖ 2 L 2 (Ω) ≤ C ‖∇u‖2 L 2 (Ω) .
Demonstração. Ver [2] e [1].
Lema 1.8.2. (Desigualdade de Young).
Sejam a, b constantes positivas e
p, q, tais que 1 p + 1 q = 1, então ab ≤ ap
p + bq
q .
Demonstração. Ver [2].
Lema 1.8.3. (Desigualdade de Holder). Sejam f ∈ L p (Ω) e g ∈ L q (Ω), com
1 ≤ p ≤ ∞ e 1 p + 1 q = 1, então fg ∈ L1 (Ω) e
∫
‖fg‖ L 1 (Ω) = |fg| ≤ ‖f‖ L p (Ω) ‖g‖ L q (Ω) .
Demonstração. Ver [2].
Ω
Lema 1.8.4. (Desigualdade de Gronwall). Sejam ϕ ∈ L ∞ (0, T ), β ∈ L 1 (0, T ),
β(t) > 0, ϕ(t) ≥ 0 e K ≥ 0 constante. Se
então
ϕ(t) ≤ K +
∫ t
0
ϕ(t) ≤ Kexp(
Demonstração. Ver [15], [20].
β(s)ϕ(s)ds, ∀t ∈ (0, T )
∫ t
0
β(s)ds). ∀t ∈ (0, T ).
Lema 1.8.5. (Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg). Seja u ∈ H 1 0(Ω) então
existe c > 0 tal que
Demonstração. Ver [1] e [2].
‖u‖ L ∞ (Ω) ≤ c ‖u‖1/2 L 2 (Ω) ‖u x‖ 1/2
L 2 (Ω)
23