Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Demonstração.
A demonstração da existência segue os memos argumentos usados na demonstração
do Teorema 3.1.1 e por isso será omitida. Assim, para concluir a prova
do Lema 3.2.1 é suficiente provar que a solução existe globalmente. Para isto,
serão necessários algumas estimativas a priori, que serão obtidas em diversos
pasos.
Primeiramente, multiplicamos a equação em (3.38) por v e integremos
por partes em (0, L):
pois
∫ L
0
1 d
2 dt
∫ L
v 2 dx + 1 2 v2 x(0, t) +
∫ L
a(x)v 2 dx =
∫ L
0
0
0
∫ L
v(uv) x dx = −
0
uvv x dx, (3.39)
uvv x dx. Integrando a igualdade acima de 0 a T e
aplicando as desigualdades de Cauchy-Schwarz e Hölder, segue que
∫ L
0
v 2 (x, T )dx
≤
≤
≤
≤
∫ L
0
∫ L
0
∫ L
0
∫ L
0
∫ T
v0dx 2 + 2
v 2 0dx + 2(
v 2 0dx + 2(
v 2 0dx +
0
∫ T
0
∫ T
0
∫ T
0
∫ L
0
|uvv x | dxdt (3.40)
‖uv‖ L 2 (Ω) ‖v x‖ L 2 (Ω) dt)
∫ T
‖uv‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2 ( ‖v x ‖ 2 L 2 (Ω) dt)1/2
0
∫ T
‖u‖ 2 L ∞ (Ω) ‖v‖2 L 2 (Ω) dt +
0
‖v x ‖ 2 L 2 (Ω) dt.
Para estimar os dois últimos termos no lado direito de (3.40) multiplicamos
a equação (3.38) por xv e integramos em (0, L) × (0, T ):
∫ T ∫ L
0 0
v 2 xdxdt + 1 3
∫ L
∫ T ∫ L
0
xv 2 (x, T )dx + 2 3
0 0
xa(x)v 2 dxdt =
∫
1 T
3 0
Pois
∫ L
0
v 2 dxdx+ 1 3
∫ L
0
xv 2 0(x)dx+ 2 3
∫ T ∫ L
0
0
xuvv x dxdt+ 2 3
∫ T ∫ L
0
0
uv 2 dxdt.
(3.41)
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