Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Sejam X e Y dois espaços de Hilbert separáveis, com imersão contínua
e densa, X ↩→ Y . Sejam ( , ) X
e ( , ) Y
os produtos internos de X e Y ,
respectivamente.
Indicaremos por D(S), o conjunto de todas as funções u’s definidas em X,
tal que a aplicação v −→ (u, v) X , v ∈ X é contínua na topologia induzida por
Y. Então, (u, v) X = (Su, v) Y define S, como sendo um operador ilimitado
em Y com domínio D(S), denso em Y .
S é um operador auto-adjunto e estritamente positivo. Usando a decomposição
espectral de operadores auto-adjuntos, podemos definir S θ , θ ∈ R.
Em particular usaremos A = S 1/2 .
O operador A, é auto-adjunto, positivo definido em Y , com domínio X e
(u, v) X = (Au, Av) Y , ∀ u, v ∈ X.
Definição 1.5.1. Com as hipóteses anteriores, definimos o espaço intermediário
[X, Y ] θ = D(A 1−θ ) (domínio de A 1−θ ), 0 ≤ θ ≤ 1,
com norma
‖u‖ [X,Y ]θ
= ( ‖u‖ 2 Y + ∥ ∥ A 1−θ u ∥ ∥ 2 Y
) 1/2.
Observação 1.5.1.
1. X ↩→ [X, Y ] θ ↩→ Y .
2. ‖u‖ [X,Y ]θ
≤ ‖u‖ 1−θ
X ‖u‖θ Y .
3. Se 0 < θ 0 < θ 1 < 1 então [X, Y ] θ0 ↩→ [X, Y ] θ1 .
4. [[X, Y ] θ0 , [X, Y ] θ1 ] θ = [X, Y ] (1−θ)θ0 +θθ 1
.
Teorema 1.5.1. Sejam Ω, um subconjunto bem regular de R n , s > 1 2 . Então,
17