ExistÃªncia, Unicidade e Decaimento Exponencial das SoluÃ§ ... - UFRJ

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• quando a ≡ 0 e L /∈ E, • quando a ≥ a 0 > 0 q.s. num subconjunto aberto não vazio ω de (0, L), e L ∈ E. Seja T > 0 e γ < 1, tais que ‖S(t)‖ L(L 2 (Ω)) = γ < 1. (3.68) Como as soluções do problema não linear satisfazem a fórmula de variação de parametros (3.6), temos que u(T ) = S(T )u 0 + Além disso, segue de (3.35) que Por outro lado, ∫ T ‖u(T )‖ L 2 (Ω) ≤ γ ‖u 0‖ L 2 (Ω) + ∫ T 0 S(T − s)[uu x ](s)ds. (3.69) 0 ‖uu x ‖ L 2 (Ω) ds. (3.70) ∫ T 0 ‖uu x ‖ L 2 (Ω) dt ∫ T ≤ ‖u‖ L ∞ (Ω) ‖u x‖ L 2 (Ω) dt ≤ c 0∫ T 0 ‖u‖ H 1 0 (Ω) ‖u x‖ L 2 (Ω) dt = c ‖u‖ 2 L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)) ; ou seja; ‖u(T )‖ L 2 (Ω) ≤ γ ‖u 0‖ L 2 (Ω) + c ‖u‖2 L 2 (0,T ;H0 1 (Ω)) , c > 0. Como de (3.25) também temos ‖u‖ 2 L 2 (0,T ;H 1 0 (Ω)) ≤ C[‖u 0‖ 2 L 2 (Ω) + ‖u 0‖ 4 L 2 (Ω) ], combinando as duas últimas estimativas, obtemos 72
‖u(T )‖ L 2 (Ω) ≤ ‖u 0‖ L 2 (Ω) [ γ + C[‖u0 ‖ L 2 (Ω) + ‖u 0‖ 3 ] L 2 (Ω) . Agora, escolhendo C[‖u 0 ‖ L 2 (Ω) + ‖u 0‖ 3 L 2 (Ω) ] < 1 − γ , (3.71) 2 segue que ‖u(T )‖ L 2 (Ω) ≤ 1 + γ 2 ‖u 0 ‖ L 2 (Ω) . (3.72) Este fato, junto com a propriedade de semigrupo associada ao modelo nos dão o decaimento exponencial <strong>das</strong> soluções com dados iniciais pequenos. 73
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Existência, Unicidade e Decaimento
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Agradecimentos A Deus que não cess
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Abstract This work is devoted to pr
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3 A Equação Não Linear de Kortew
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A equação de Korteweg-de Vries fo
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trabalhando dentro do intervalo lim
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A norma em L ∞ (0, T ; X) é defi
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