Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

ou seja;
1 d
2 dt ‖u(·, t)‖2 H + 1 2 u2 x(0, t) = 0;
d
dt ‖u(·, t)‖2 H = −u2 x(0, t) ≤ 0. (2.8)
Por outro lado, segue de [16, Proposição 3.3] que se L /∈ E, dado T > 0,
existe c > 0, com (c = c(L, T )), tal que
‖u 0 ‖ 2 H ≤ c ‖u x(0, ·)‖ 2 L 2 (0,T )
para cada solução de (2.3).
Agora, integrando (2.8) em (0, T ) e usando a desigualdadde acima, obtemos
Logo,
∫ T
‖u(·, T )‖ 2 H = ‖u 0‖ 2 H − u 2 x(0, t)dt.
0
∫ T
∫ T
(1 + c) ‖u(·, T )‖ 2 H = c ‖u 0‖ 2 H − u 2 x(0, t)dt + ‖u 0 ‖ 2 H − c u 2 x(0, t)dt
∫ T
≤ c ‖u 0 ‖ 2 H − u 2 x(0, t)dt
0
0
≤ c ‖u 0 ‖ 2 H ,
o que implica que
‖u(·, T )‖ 2 H ≤ ( c
c + 1 ) ‖u 0‖ 2 H ;
ou seja; E(T ) ≤ γE(0), com 0 < γ < 1. A propriedade de semigrupo
associada ao modelo nos dá a conclusão do teorema. De fato, como
‖u(·, kT )‖ 2 H ≤ γk ‖u 0 ‖ 2 H , ∀ k ≥ 0,
e
‖u(·, t)‖ 2 H ≤ ‖u(·, kT )‖2 H
, para kT ≤ t ≤ (k + 1)T ,
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0