ExistÃªncia, Unicidade e Decaimento Exponencial das SoluÃ§ ... - UFRJ

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H s 0(Ω) = {u| u ∈ H s (Ω), ∂ j u ∂η j = 0, 0 ≤ j < s − 1 2 }. Teorema 1.5.2. Sejam Ω, um subconjunto bem regular de R n , s 1 > s 2 ≥ 0, s 1 e s 2 ≠ k + 1 2 , k ∈ Z. Se s = (1 − θ)s 1 + θs 2 ≠ k + 1 2 , então e [H s 1 0 (Ω), H s 2 0 (Ω)] θ = H s 0(Ω) [H m 0 (Ω), H 0 (Ω)] θ = H s 0(Ω), com s = (1 − θ)m ≠ k + 1 2 com normas equivalentes. 1.6 Espaços L p (0, T ; X) e Distribuições Vetoriais Sejam X um espaço de Banach real munido da norma ‖·‖ X , T um numero real positivo e 1 ≤ p < ∞. Representa-se por L p (0, T ; X), o espaço de Banach de funções u : (0, T ) −→ X, tais que u é mesuravel e ‖u(t)‖ X ∈ L p (0, T ), munido da norma. ( ∫ T ) 1/p ‖u‖ L p (0,T ;X) = ‖u(t)‖ p X . Quando p = 2 e X = H é um espaço de Hilbert, o espaço L p (0, T ; H) é um espaço de Hilbert cujo produto interno é dado por : (u, v) L p (0,T ;H) = 0 ∫ T 0 (u(s), v(s)) H ds. Por L ∞ (0, T ; X) representaremos o espaço de Banach <strong>das</strong> (classes de) funções u : (0, T ) −→ X mesuráveis e essencialmente limita<strong>das</strong>, isto é; sup ess ‖u(t)‖ X < ∞. 0
A norma em L ∞ (0, T ; X) é definida por ‖u‖ L ∞ (0,T ;X) = sup ess ‖u(t)‖ X < ∞. 0
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é identicamente nulo, i.e., w ≡
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‖u(T )‖ L 2 (Ω) ≤ ‖u 0‖
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onde ⎧ ⎨ ϕ(x) = ⎩ v(x, 0) se
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Math. de Recheiches on Mathématiqu
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