Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Definição 1.3.1. Sejam m ∈ N e 1 ≤ p ≤ ∞. Indicaremos por W m,p (Ω) o
conjunto de todas as funções u de L p (Ω) tais que para todo α ≤ m, D α u ∈
L p (Ω) sendo D α u a derivada distribucional de u. W m,p (Ω) é chamado Espaço
de Sobolev de ordem m relativo ao espaço L p (Ω). Resumidamente,
W m,p (Ω) = {u ∈ L p (Ω); D α u ∈ L p (Ω), α ≤ m}.
Para cada u ∈ W m,p (Ω),
‖u‖ m,p
= ( ∑ α≤m ‖Dα u‖ p L p (Ω) )1/p ,
1 ≤ p < ∞
e
‖u‖ m,∞
= ∑ α≤m ‖Dα u‖ L ∞ (Ω)
definem uma norma sobre W m,p (Ω).
Observação 1.3.1.
1. (W m,p (Ω), ‖·‖ m,p
) é um espaço de Banach.
2. Quando p = 2 o espaço de Sobolev W m,p (Ω) torna-se um espaço de
Hilbert com o produto interno dado por
(u, v) W m,2 (Ω) = ∑ α≤m (Dα u, D α v) L 2 (Ω)
u, v ∈ W m,2 (Ω).
3. Denota-se W m,2 (Ω) por H m (Ω).
4. H m (Ω) é reflexivo e separável.
Definição 1.3.2. Definimos o espaço W m,p
0 (Ω) como sendo o fecho de C ∞ 0 (Ω)
em W m,p (Ω).
Observação 1.3.2.
1. Quando p = 2 escreve-se H m 0 (Ω) em lugar de W m,p
0 (Ω).
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