Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

3. R(λ 0 − A) = X, para algum λ 0 > 0,
então A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações de classe
C 0 .
Demonstração. Ver [14].
Corolário 1.9.1. Seja A é um operador linear fechado, densamente definido
tal que D(A) e R(A) estão ambos num espaço de Banach X. Se A e seu
operador dual A ∗ são ambos dissipativos, então A gera um semigrupo de
contrações de classe C 0 .
Demonstração. Ver [14].
1.9.2 Teoria da Perturbação
Para simplificar a linguagem, vamos escrever A ∈ G(M, ω) para exprimir
que A é o gerador infinitesimal de un semigrupo de operadores lineares limitados
de classe C 0 , S, que satisfaz a condição ‖S(t)‖ ≤ Me ωt , ∀t ≥ 0.
Teorema 1.9.2. Seja A ∈ G(1, 0) e B dissipativo relativamente a alguma
aplicação dualidade. Se D(B) ⊃ D(A) e existem constantes a e b, 0 ≤ a < 1
e b ≥ 0, tais que
‖Bx‖ ≤ a ‖Ax‖ + b ‖x‖ , ∀x ∈ D(A),
então A + B ∈ G(1, 0).
Demonstração. Ver [14].
Teorema 1.9.3. Se A ∈ G(1, 0) e B ∈ L(X), então A + B ∈ G(1, ‖B‖).
Demonstração. Ver [14].
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