Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Apêndice
Teorema 3.3.1. Se ω contém dois conjuntos da forma (0, δ) e (L − δ, L),
para algum δ > 0, e v ∈ L 2 (0, T ; H0(Ω)) 1 ∩ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) é solução de
⎧
v t + v x + v xxx + λvv x = 0, em Ω × (0, T )
⎪⎨ v(0, t) = v(L, t) = 0, ∀ t ∈ (0, T )
(3.73)
v x (0, t) = v x (L, t) = 0, ∀ t ∈ (0, T )
⎪⎩ v ≡ 0, em ω × (0, T )
com λ ≥ 0 e T > 0, então, necesariamente v ≡ 0 em Ω × (0, T ).
Demonstração.
Como v ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω))∩L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) segue que v t ∈ L 2 (0, T ; H −2 (Ω)).
Daí, como v ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)) e v t ∈ L 2 (0, T ; H −2 (Ω)), então por [9] e [19,
Capitulo III, Lema 1.4] segue que v é contínua no sentido fraco; ou seja;
v ∈ C W ([0, T ]; H −2 (Ω)) . Por outro lado, de acordo a estrutura de ω, temos
que v ≡ 0 em {(0, δ) ∪ (L − δ, L)} × (0, T ). Logo, a função V = V (x, t)
⎧
⎨ v(x, t) se (x, t) ∈ (δ, L − δ) × (0, T )
V (x, t) =
⎩ 0 se (x, t) ∈ {R − (δ, L − δ)} × (0, T ),
que estende v a todo R, satisfaz
⎧
⎨ V t + V x + V xxx + λV V x = 0 em R × (0, T )
⎩
V (x, 0) = ϕ(x) em R
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