Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

1.9.1 Teorema de Lumer-Phillips
Definição 1.9.5. Seja A operador linear de X. O conjunto dos λ ∈ C para
os quais o operador linear λI − A é inversível e seu inverso é limitado e tem
dominio denso em X, é dito conjunto resolvente de A e é representado por
ρ(A).
Seja X um espaço de Banach, X ∗ o dual de X e 〈·, ·〉 a dualidade entre
X e X ∗ . Para cada x ∈ X, definimos
J(x) = {x ∗ ∈ X ∗ | 〈x, x ∗ 〉 = ‖x‖ 2 = ‖x ∗ ‖ 2 }.
Pelo Teorema de Hanh-Banach, J(x) ≠ ∅, ∀x ∈ X.
Definição 1.9.6. Uma aplicação dualidade é uma aplicação j : X −→ X ∗
tal que j(x) ∈ J(x), ∀x ∈ X.
Observe que ‖j(x)‖ = ‖x‖.
Definição 1.9.7. Diz-se que o operador linear A : X −→ X é dissipativo
se, para alguma aplicação dualidade, j
Re 〈Ax, j(x)〉 ≤ 0
∀x ∈ D(A).
Teorema 1.9.1. (Lumer-Phillips). Se A é um gerador infinitesimal de um
semigrupo de contrações de classe C 0 , então
1. A é dissipativo;
2. R(λI − A) = X, λ > 0.
Reciprocamente, se
1. D(A) é denso em X;
2. A é dissipativo;
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