Soluţie. De astă dată, pe lângă identitatea (2), vom folosi şi o idee ceva maisubtilă. Anume, să fixăm un număr prim impar p şi să observăm că, la fel ca laProblema 1, oricare două dintre numerelep +1,p 2 +1,...,p 2k +1,...au cel mai mare divizor comun 2. De aceea există unuldintreelecarearemăcarun factor prim mai mare decât p. Săconsiderăm primul dintre aceste numere, adicăfie k acel număr natural pentru care h(p 2k +1) >pşi h(p 2j +1)
O caracterizare a punctului MathotCătălin ŢIGĂERU 1Punctul lui Mathot (sau anticentrul) unui patrulater inscriptibil este definit capunctul de intersecţie al perpendicularelor duse din mijlocul fiecărei laturi ale patrulateruluipe latura opusă. Numeroase proprietăţi ale acestui punct au fost puse înevidenţă, cele mai spectaculoase fiind în legătură cu cele patru triunghiuri <strong>format</strong>ede câte două laturi adiacente ale patrulaterului şi câte o diagonală.În acestănotă punem în evidenţă o caracterizare a punctului Mathot care se referăla cele patru triunghiuri <strong>format</strong>e de câte o latură şi câte două segmente determinatepe diagonale de punctul lor de intersecţie. Mai precis, demonstrămTeorema 1. Se consideră patrulaterul inscriptibil ABCD, înscris în cercul decentru O, în care se notează cuE intersecţia diagonalelor AC şi BD şi cu H 1 , H 2 ,H 3 , H 4 ortocentrele triunghiurilor AEB, BEC, CED şi respectiv DEA. Atunci:(a) Patrulaterul H 1 H 2 H 3 H 4 este paralelogram.(b) Intersecţia diagonalelor paralelogramului H 1 H 2 H 3 H 4 coincide cu punctul Mathotal patrulaterului ABCD.Pentru demonstraţie folosimLema 1. Dacă O 1 , O 2 , O 3 , O 4 sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiurilorAEB, BEC, CED şi respectiv DEA, atunci(a) Patrulaterul O 1 O 2 O 3 O 4 este paralelogram.(b) Dacă Γ este punctul de intersecţie a diagonalelor paralelogramului O 1 O 2 O 3 O 4 ,atunci punctele O, Γ, E sunt coliniare, punctul Γ fiind mijlocul segmentului [OE].Demonstraţie. Cititorul poate verifica imediat faptulcă patrulaterul O 1 O 2 O 3 O 4 este paralelogram. Notămcu F piciorul perpendicularei din E pe AB şi unim E cuO 3 . Pedeoparteavemm( [FEA)=90 ◦ −m(\BAE); pedealtă partem( \CEO 3 )=90 ◦ −m(\CDE); cumm(\BAE) =m(\CDE), rezultă că m( [FEA) = m( \CEO 3 ), adică F ,E, O 3 sunt coliniare, deci EO 3 ⊥AB, deciO 3 E k OO 1 ;analog se demonstrează că O 1 E k OO 3 , O 4 E k OO 2 ,O 2 E k OO 4 , de unde rezultă că patrulaterele O 1 EO 3 O,O 2 EO 4 O sunt paralelograme. Cum diagonalele paralelogramelorse înjumătăţesc, rezultă că punctul Γ este mijlocul segmentului [OE].Demonstraţia Teoremei 1. Vom folosi şi următoarele rezultate:(A) Dacă UVWZ este un paralelogram, S este intersecţia diagonalelor sale şi Meste un punct oarecare din plan, atunci 4MS −−→ = MU −−→ + −−→ MV + MW −−→ + −−→ MZ ;(B) (Sylvester) Dacă M este centrul cercului circumscris triunghiului UVW şidacă S este ortocentrul triunghiului, atunci −−→ MS = MU −−→ + −−→ MV + MW −−→ ;(C) Dacă ABCD este inscriptibil, dacă O este centrul cercului circumscris şi dacăΩ este punctul Mathot al patrulaterului, atunci1 Lect. dr., Univ. "Ştefan cel Mare", Suceava−→OA + −→ −→ −−→ −→OB + OC + OD =2OΩ . (1)115
- Page 1: Anul X, Nr. 2Iulie - Decembrie 2008
- Page 6: A colaborat la elaborarea unui trat
- Page 10 and 11: pământ primele capitole elevate d
- Page 12 and 13: de "Gazeta Matematică".La 125 de a
- Page 14 and 15: calendarul iudaic). De la data Conc
- Page 16: mecanic virtual".CursulluiM.Tzony(
- Page 22 and 23: Câteva probleme de teoria numerelo
- Page 26 and 27: Se demonstrează imediatcă H 1 H 2
- Page 28 and 29: În scopul propus, să notăm x n =
- Page 30 and 31: Cercuri semiînscriseşi puncte de
- Page 32 and 33: O rafinare a inegalităţii lui Jen
- Page 34 and 35: Asupra unor inegalităţi geometric
- Page 36 and 37: Grupând convenabil, obţinem(3ab +
- Page 38 and 39: Oproblemă şi ... nouăsoluţiiGhe
- Page 40 and 41: utină, rezultă că DN = a ¡ 3+
- Page 42 and 43: où µ, ν sont des réels arbitrai
- Page 44 and 45: Concursul de matematică “Al. Myl
- Page 46 and 47: 2. Determinaţi numerele n ∈ N, n
- Page 48 and 49: din cele patru colţuri, se poate a
- Page 50 and 51: două triunghiuri dreptunghice. Dac
- Page 52 and 53: 1RRf (x) dx. Deducem că 2 1 Rx (f
- Page 54 and 55: şi calculează câtenumerediferite
- Page 56 and 57: a) Să searatecăînfermănupotfi10
- Page 58 and 59: VI.84. Pentru n ∈ N ∗ , definim
- Page 60 and 61: a) dacă a 3 − b 3 = a + b, atunc
- Page 62 and 63: 2b =0.Atunci(m + n)(m + n +1)af (1)
- Page 64 and 65: = x 1 x 2 − 2, de unde rezultă c
- Page 66 and 67: g (x) =x 3 − e −x +1 este stric
- Page 68 and 69: u 2 n +9. Deoarece (u n ) este conv
- Page 70 and 71: a 0 a 2 Y 2n−1 + ···+ a 2n0 a
- Page 72 and 73: Prin urmare, este suficient să dem
- Page 74 and 75:
când α =90 ◦ . În cazul nostru
- Page 76 and 77:
Apoi, să observăm că are loc ide
- Page 78 and 79:
aluik; pentru aceasta, ar trebui s
- Page 80 and 81:
Clasele primareProbleme propuse 1P.
- Page 82 and 83:
VI.98. Determinaţi cel mai mic num
- Page 84 and 85:
IX.94. În 4ABC, I este centrul cer
- Page 86 and 87:
Probleme pentru pregătirea concurs
- Page 88 and 89:
L153. Găsiţi toate funcţiile f :
- Page 90 and 91:
L149. Determine the position of the
- Page 92 and 93:
2. Să se rezolve sistemul de ecua
- Page 95 and 96:
Revista semestrială RECREAŢII MAT
Change language