Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

c 1 , c 2 , c 3 sunt:µ 3a1c 12 − a 22 − a µ3+ c 2 − a 122 + 3a 22 − a µ3+ c 3 − a 122 − a 22 + 3a 3=0;2µ 3b1c 12 − b 22 − b µ3+ c 2 − b 122 + 3b 22 − b µ3+ c 3 − b 122 − b 22 + 3b 3=0;23 ¡c22 1 + c 2 2 + c 2 ¢3 − c1 c 2 − c 1 c 3 − c 2 c 3 =1.Primele două sunt ecuaţii omogene cu 3 necunoscute, despre care se ştie că auovariabilăliberă, deci o soluţie netrivială ( ec 1 , ec 2 , ec 3 ). Cum a treia ecuaţieestesimetricăşi omogenă înc 1 , c 2 , c 3 , putem înmulţi ec 1 , ec 2 , ec 3 cu un factor k astfel încât egalitateasă fie îndeplinită şi rezolvarea problemei este încheiată.L130. Să searatecăpentruoricex, y ≥ 1 are loc inegalitatea³(xy − x − y) 2 + 6 √ ´3 − 10 xy ≥ 6 √ 3 − 9.Gabriel Dospinescu, Paris şi Marian Tetiva, BârladSoluţie. Luăm x = a +1, y = b +1,cua, b ≥ 0; inegalitatea de demonstratdevine³a 2 b 2 + 6 √ ´3 − 10 (a + b + ab) − 2ab ≥ 0.Cum a + b ≥ 2 √ ab şi 6 √ 3 − 10 > 0, ar fi suficient să arătăm că³a 2 b 2 + 6 √ ´³3 − 10 2 √ ´ab + ab − 2ab ≥ 0.Cu notaţia t = √ ab ≥ 0, amaveadejustificatcă³t 4 + 6 √ ´ ³3 − 10 t 2 +2 6 √ ´3 − 10 t ≥ 0 ⇔ f (t) ≥ 0,unde f :[0, ∞) → R, f (t) =t 3 + ¡ 6 √ 3 − 10 ¢ t +2 ¡ 6 √ 3 − 10 ¢ . Derivata acesteifuncţiei este f 0 (t) =3³t 2 − ¡√ 3 − 1 ¢ 2´,carearecasingurărădăcină pozitivă pe√3 − 1. Euşor de văzut că acesta este punct de minim pentru f pe intervalul [0, ∞),prin urmare f (t) ≥ f ¡√ 3 − 1 ¢ =0, ∀t ≥ 0, ceea ce încheie demonstraţia.Nota autorilor. De fapt, avem că f (t) = ¡ t − √ 3+1 ¢ 2 ¡ √ ¢t +2 3 − 2 , ceea ceconduce la concluzia dorită f (t) ≥ 0, ∀t ≥ 0, însă această descompunere este maigreu de văzut.Notă. Soluţii asemănătoare celei prezentate s-au primit de la Vlad Emanuel,student, Bucureşti, precum şi de la dl. Marius Olteanu, inginer, Rm. Vâlcea.L131. Să se afle valoarea minimă anumărului real k astfel încât, oricare ar fia, b, c reale pozitive cu a + b + c = ab + bc + ca, săaibă loc inegalitateaµ 1(a + b + c)a + b + 1b + c + 1 c + a − k ≤ k.Andrei Ciupan, elev, BucureştiSoluţii. Înµ particular, inegalitatea din enunţ trebuie să aibălocpentrua = b =3c =1;astfel,32 − k ≤ k ⇔ k ≥ 9 8 . Vom arăta că 9 este valoarea minimă căutată8167