Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

Soluţia 1 (a autoarei). Avem:7 51 = ¡ 7 3¢ 17= 343 17 > 342 17 =(9· 38) 17 > (9 · 36) 17 =3 68 · 2 34 ==3 68 · 2 2 · ¡2 8¢ 4> 368 · 3 · 256 4 > 3 69 · 243 4 =3 69 · ¡3 5¢ 4=3 89 .Soluţia 2 (M. Haivas). Inegalitatea se scrie echivalent¡74 ¢ 51 4> ¡ 3 7¢ 89 7⇔ (2401) 51 4> (2187) 89 7,ceea ce este evident adevărat deoarece 2401 > 2187, iar 51 4 > 897 .Clasa a VI-aVI.81. Ştiind că 13 | 2a +3b +4c +5d, arătaţi că 13 | 43a +45b +47c +49d şi13 | 46a +30b − 64c − 54d ( a, b, c, d ∈ N).Norbert-Traian Ioniţă, elev, IaşiSoluţie. Avem:13 | 2(2a +3b +4c +5d)+13(3a +3b +3c +3d) ⇒ 13 | 43a +45b +47c +49d;13 | 13 (4a +3b − 4c − 3d) − 3(2a +3b +4c +5d) ⇒ 13 | 46a +30b − 64c − 54d.VI.82. Fie A = 3 m · 5 n , m, n ∈ N. Notăm cu a, b, c numărul divizorilornumerelor A, 3A, respectiv5A. Ştiind că a şi b sunt direct proporţionale cu 3 şi 4,iar b şi c sunt invers proporţionale cu 15 şi 16, să se determine A.Mihai Haivas, IaşiSoluţie. Avem că a =(m +1)(n +1), b =(m +2)(n +1),iarc =(m +1)(n +2).Din a 3 = b obţinem că m =2,apoidin15b =16c deducem că n =3, prin urmare4A =3 2 · 5 3 = 1125.VI.83. Dacă p este număr prim, iar n ∈ N ∗ ,săsearatecă p 4n − 3 nu estepătrat perfect.Mirela Marin, IaşiNotă. Domnul Titu Zvonaru atrage atenţia asupra faptului că ipoteza că p estenumăr prim nu este importantă, fiind suficient să considerăm p ∈ N \{0, 1}; acestlucru a fost observat în redacţie în momentul selectării problemei spre publicare, dars-a preferat păstrarea enunţului dat de autor. Prezentăm mai jos soluţiile d-lui TituZvonaru.Soluţia 1. Urmărim ultima cifră anumărului p 4n − 3:U (p) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9U ¡ p 4¢ 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1U ¡ p 4n¢ 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1U ¡ p 4n − 3 ¢ 7 8 3 8 3 2 3 8 3 8Deducem astfel că p 4n − 3 nu poate fi pătrat perfect.Soluţia 2. Are loc dubla inegalitate ¡ p 2n − 1 ¢ 2 2,fapt adevărat pentru p ≥ 2. Astfel p 4n − 3 este strict cuprins între două pătrateperfecte consecutive, prin urmare nu poate fi pătrat perfect.147