Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

VI.84. Pentru n ∈ N ∗ , definim A n = 1 + 11 + 111 + ···+11...1| {z }.Arătaţi că:a) 3| A n dacă şi numai dacă 3 - n − 1;nb) 10 n +1+ 9n10 < A 2n< 10 n +1+ 10nA n11 , ∀n ≥ 3. Temistocle Bîrsan, IaşiSoluţie. a) Restul împărţirii unui număr prin 3 este acelaşi cu restul împărţiriiprin 3 a sumei cifrelor sale. Rezultă că oricum am considera trei termeni consecutividin A n , ei vor fi de forma M 3 , M 3 +1şi M 3 +2(nu neapărat în această ordine)şiatunci suma lor se va divide cu 3.Dacă n =3k, grupând câte trei termenii lui A n , deducem că A. n 3. Dacă n =3k +1, atunci A n = M 3 +11...1| {z }= M 3 +1. Dacă n =3k +2, atunci A n =3k+1M 3 +11...1 = M 3 +(M 3 +1)+(M 3 +2)=M 3 şi de aici rezultă concluzia| {z }3k+1+11...1| {z }3k+2de la a).b) Observăm căA 2n =A n +11...1| {z }n+1³++ ···+11...1| {z }2n11 · 10 n +11...1| {z }n=A n (10 n +1)+n · 11 ...1´+ ···+| {z }n.³= A n +³11| {z...1}n10 n +11...1| {z }n´+·10 n +11...1| {z }nRezultă că A 2n=1+10 n 11 ...1+ n · şi rămâne să arătăm că 9A n A n 10∀n ≥ 3. Scrise dezvoltat, aceste inegalităţi revin la9 + 99 + 999 + ···+9...9| {z }n11 + 110 + 1100 + ···+110...0| {z }n−1´=< 10 + 100 + 1000 + ···+10...0| {z };n< 10 + 110 + 1110 + ···+11...1