Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

aluik; pentru aceasta, ar trebui să arătăm căµ 1(a + b + c)a + b + 1b + c + 1 ≤ 9 (a + b + c +1),c + a 8oricare ar fi a, b, c ∈ R + cu a + b + c = ab + bc + ca. Observăm căa + b + c +1= (a + b + c)2 +(a + b + c)= (a + b + c)2 + ab + bc + ca=a + b + ca + b + c(a + b)(b + c)+(b + c)(c + a)+(c + a)(a + b)= ;a + b + c1 9(b + c)(c + a)astfel, ar fi suficient să demonstrăm că (a + b + c) ≤ , deoarecea + b 8(a + b + c)scriind încă două inegalităţi similare şi sumându-le, obţinem chiar ceea ce dorim.Această ultimă inegalitate se scrie succesiv:9(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8(a + b + c) 2 ⇔ 9(a + b)(b + c)(c + a) ≥≥ 8(a + b + c)(ab + bc + ca) ⇔ 9(a + b)(b + c)(c + a) ≥≥ 8(a + b)(b + c)(c + a)+8abc ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc,fapt care rezultă din inegalitatea mediilor.Notă. Soluţie corectă adatdl.Marius Olteanu, inginer, Rm. Vâlcea.L132. Fie a, b, c, x, y, z ∈ R şi A = ax+by+cz, B = ay+bz+cx, C = az+bx+cy.Dacă |A − B|≥1, |B − C|≥1 şi |C − A|≥1, arătaţi că ¡ a 2 + b 2 + c 2¢¡ x 2 + y 2 + z 2¢ ≥ 4 3 .Adrian Zahariuc, elev, BacăuSoluţie. Deoarece distanţa pe axa reală între oricare două dintrenumereleA,B şi C este cel puţin 1, distanţa dintre cel mai mare şi cel mai mic dintre ele estecel puţin 2, deci cel puţin unul dintre ele se află ladistanţa de cel puţin 1 faţă deorigine. Putem presupune că |A| =max{|A| , |B| , |C|} ≥ 1. Folosind identitatea luiLagrange şi inegalitatea CBS, obţinem:¡a 2 + b 2 + c 2¢¡ x 2 + y 2 + z 2¢ =(ax + by + cz) 2 +(ay − bx) 2 +(bz − cy) 2 +(cx − az) 2 ≥≥ (ax + by + cz) 2 +(ay + bz + cx − bx − cy − az)23= |A| 2 +|B − C|23≥ 4 3 .L133. Determinaţi funcţiile f : N → N pentru care2f(n +3)f(n +2)=f(n +1)+f(n)+1, ∀n ∈ N.Gheorghe Iurea, IaşiSoluţie. Notăm a n = f (n), n ∈ N; atunci2a n+3 a n+2 = a n+1 + a n +1. Cum2a n+4 a n+3 = a n+2 +a n+1 +1, deducem că 2a n+3 (a n+4 − a n+2 )=a n+2 −a n , ∀n ∈ N.Prin urmare, 2a n+3 |a n+4 − a n+2 | = |a n+2 − a n |, ∀n ∈ N. Deoarece 2a n+3 a n+2 =a n+1 + a n +1≥ 1, rezultăcă a n 6=0, ∀n ≥ 2. Dacăexistă n 0 ∈ N cu a n0 +2 6= a n0 ,folosind relaţiile anterioare găsim că a n0 +4 6= a n0 +2, a n0 +6 6= a n0 +4, ...,şi atunci|a n0+2 − a n0 | > |a n0+4 − a n0+2| > |a n0+6 − a n0+4| > ···> 0,contradicţie. Prin urmare, a n+2 = a n , ∀n ∈ N. Notând a 1 = a 3 = a 5 = ···= a ∈ N,a 2 = a 4 = a 6 = ··· = b ∈ N, găsim 2ab = a + b +1, de unde a =1, b =2sau a =2,b =1,decif (n) =½ 1, n par2, n imparsau f (n) =168½ 2, n par1, n impar .