Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

= x 1 x 2 − 2, de unde rezultă că a, b ∈ Z, deci 2a 2 + b 2 ∈ N. Înplus,2a 2 + b 2 =2(x 1 + x 2 ) 2 +(x 1 x 2 − 2) 2 = ¡ x 2 1 +2 ¢¡ x 2 2 +2 ¢şi concluzia se impune.Notă. Într-o formă puţin modificată, problema a apărut în RMT 2/2007, cunumărul IX.216, sub semnătura aceluiaşi autor.IX.82. Determinaţi funcţiile f : R → R pentru caref ¡ x 4 + y 3 + z 2 + t ¢ = f (x)+f ¡ y 2¢ + f ¡ z 3¢ + f ¡ t 4¢ , ∀x, y, z, t ∈ R.Lucian Tuţescu şi Liviu Smarandache, CraiovaSoluţie. Pentru x = y = z = t =0,găsim f (0) = 0. Dacă y = z =0, atuncif ¡ x 4 + t ¢ = f (x)+f ¡ t 4¢ , ∀x, t ∈ R. Pentru t = −x 4 ,găsim că f ¡ x 16¢ = −f (x),∀x ∈ R. Cum f ¡ x 4¢ = f (x), x ∈ R, deducem că f ¡ x 16¢ ³ ¡x4= f¢ 4´= f ¡ x 4¢ =f (x), ∀x ∈ R. Prin urmare f (x) =−f (x), ∀x ∈ R, adică f (x) =0, ∀x ∈ R.IX.83. Pentru a ≥ 9, să se demonstreze că are loc inegalitateaq3+ √ q3a +9≥ 1+ 1+ √ a.Marian Tetiva, BârladSoluţie. Pentru a =9avem egalitate; să arătăm că are loc strict inegalitateadin enunţ pentrua>9. Prin ridicare la pătrat şi cu notaţia a = x 2 , x>3, obţinemsuccesiv:1+ √ q3a +9> 2 1+ √ a + √ a ⇔ 1+ p 3x 2 +9> 2 √ 1+x + x ⇔⇔ p 3x 2 +9− (x +3)≥ 2 ¡√ 1+x − 2 ¢ 2x (x − 3) 2(x − 3)⇔ √ > √ ⇔3x2 +9+x +3 1+x +2x⇔ √3x2 +9+x +3 > 1√ ⇔ x ¡√ 1+x +1 ¢ > p 3x 2 +9+3.1+x +2Această dinurmă inegalitate rezultă adunând x>3 şi x √ 1+x> √ 3x 2 +9 (carerevine la √ x 3 + x 2 > √ 3x 2 +9, evident pentru x>3).IX.84. Fie ABC un triunghi. Determinaţi numerele întregi a, b, c nenule, primeîntre ele două câte două, astfel încât punctele M, N, P să fie coliniare, unde M, N,P sunt determinate prin condiţiile −−→ AM = a −→ −−→ −→ −→ −→AB; CN = bCA; CP = cBC.Ioan Săcăleanu, HârlăuSoluţie. Exprimând vectorii −−→ NP şi −−→ MN în funcţie de −→ −→AC şi BA, obţinem că−−→NP =(b + c) −→ AC + c −→ −−→ −→ −→BA şi MN =(1− b) AC − aBA. Deoarece punctele M, N, Psunt coliniare, rezultă că vectorii −−→ NP şi −−→ MN sunt coliniari; folosind relaţiile precedente,găsim condiţia ab + ac + bc = c. De aici rezultăcă c | ab şi cum c este primcu a şi b, deducem că c ∈ {−1, 1}. Pentru c =1găsim soluţiile a = −3, b = −2sau a = −2, b = −3. Pentru c = −1 găsim soluţiile a =1, b ∈ Z (în acest cazM = P = B) saua ∈ Z, b =1(în acest caz N = A şi P = B).IX.85. Fie ABC un triunghi ascuţitunghic şi D =pr BC A, E =pr CA B, F =pr AB C.Demonstraţi echivalenţa afirmaţiilor următoare:(i) 4ABC este isoscel;154
(ii) DB + EC + FA = DC + EA + FB;1(iii)DB + 1EC + 1FA = 1DC + 1EA + 1FB .Examinaţi cazurile în care 4ABC este obtuzunghic sau dreptunghic.Temistocle Bîrsan, IaşiSoluţie. Implicaţiile (i) ⇒ (ii) şi (i) ⇒ (iii) sunt triviale. Pentru implicaţiileinverse acestora, utilizăm relaţiile BD = c cos B, DC = b cos C etc. şi teoremacosinusului. Astfel, avem:(iii) ⇔ X 1c cos B = X 1b cos C ⇔ X 2ab 2 − c 2 − a 2 = X 2ac 2 − a 2 − b 2care, după transformări, este echivalentă cu(a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) 2 =0.Prin urmare, (iii) este echivalentă cu(i).Analog se arată că (ii) este echivalentă cu(a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) =0,deci cu (i).În cazul în care triunghiul este obtuzunghic şi A b este unghiul obtuz, avem echivalenţacondiţiilor:(j) 4ABC este isoscel de vârf A,(jj) DB + EC − FA = DC − EA + FB,1(jjj)DB + 1EC − 1FA = 1DC − 1EA + 1FB .Dacă 4ABC este dreptunghic în A, atunci condiţia (iii) nu se mai poate formula,iar (ii) devine DB + b = DC + c, careesteechivalentăcufaptulcă 4ABC estedreptunghic şi isoscel de vârf A.Clasa a X-aX.81. Să serezolveînR × R × R sistemulx − y 2/3 = z 1/3 ; x 4/3 − y = z 2/3 ; z 5/3 − y 4/3 = z.Vasile Chiriac, BacăuSoluţie. Notând x 1/3 = t, y 1/3 = u, z 1/3 = v, sistemul devine t 3 − u 2 = v;t 4 − u 3 = v 2 ; t 5 − u 4 = v 3 .Avemcă t 8 = ¡ u 3 + v 2¢ 2 ¡= u 2 + v ¢¡ u 4 + v 3¢ , de undegăsim că uv (u − v) 2 =0. Prin urmare, u =0sau v =0sau u = v. Analizândacestecazuri, gasim soluţiile (t, u, v) :(1, 0, 1); (−1, 0, −1); (0, 0, 0); (1, 1, 0); (0, −1, −1);³ √1+ 5, 1+√ 5, 1+√ 5´ ³ √1 − 5şi , 1 − √ 5, 1 − √ 5´. Corespunzător, obţinem2 2 22 2 2soluţiile (x, y, z) ale sistemului dat.X.82. Solve the equationae −x + b ¯¯e−x − 3¯¯ = ax 3 + b ¯¯x3 − 2¯¯ + a, a > b > 0.Zdravko Starc, Vršac, SerbiaSoluţie. Scriem ecuaţia sub formaa ¡ e −x − 2 ¢ + b ¯¯e−x ¡− 3¯¯ = a x 3 − 1 ¢ + b ¯¯x3 − 2¯¯ .Considerând funcţia f : R → R, f (t) =at + b |t − 1|, ecuaţia devine f (e −x − 2) =f ¡ x 3 − 1 ¢ . Se verifică uşor că f este strict crescătoare, deci injectivă. Ecuaţiei datăse reduce la e −x − 2=x 3 − 1, adică x 3 − e −x +1 = 0. Cum funcţia g : R → R,155
Page 1:
Anul X, Nr. 2Iulie - Decembrie 2008
Page 6:
A colaborat la elaborarea unui trat
Page 10 and 11:
pământ primele capitole elevate d
Page 12 and 13:
de "Gazeta Matematică".La 125 de a
Page 14 and 15: calendarul iudaic). De la data Conc
Page 16: mecanic virtual".CursulluiM.Tzony(
Page 22 and 23: Câteva probleme de teoria numerelo
Page 24 and 25: Soluţie. De astă dată, pe lâng
Page 26 and 27: Se demonstrează imediatcă H 1 H 2
Page 28 and 29: În scopul propus, să notăm x n =
Page 30 and 31: Cercuri semiînscriseşi puncte de
Page 32 and 33: O rafinare a inegalităţii lui Jen
Page 34 and 35: Asupra unor inegalităţi geometric
Page 36 and 37: Grupând convenabil, obţinem(3ab +
Page 38 and 39: Oproblemă şi ... nouăsoluţiiGhe
Page 40 and 41: utină, rezultă că DN = a ¡ 3+
Page 42 and 43: où µ, ν sont des réels arbitrai
Page 44 and 45: Concursul de matematică “Al. Myl
Page 46 and 47: 2. Determinaţi numerele n ∈ N, n
Page 48 and 49: din cele patru colţuri, se poate a
Page 50 and 51: două triunghiuri dreptunghice. Dac
Page 52 and 53: 1RRf (x) dx. Deducem că 2 1 Rx (f
Page 54 and 55: şi calculează câtenumerediferite
Page 56 and 57: a) Să searatecăînfermănupotfi10
Page 58 and 59: VI.84. Pentru n ∈ N ∗ , definim
Page 60 and 61: a) dacă a 3 − b 3 = a + b, atunc
Page 62 and 63: 2b =0.Atunci(m + n)(m + n +1)af (1)
Page 66 and 67: g (x) =x 3 − e −x +1 este stric
Page 68 and 69: u 2 n +9. Deoarece (u n ) este conv
Page 70 and 71: a 0 a 2 Y 2n−1 + ···+ a 2n0 a
Page 72 and 73: Prin urmare, este suficient să dem
Page 74 and 75: când α =90 ◦ . În cazul nostru
Page 76 and 77: Apoi, să observăm că are loc ide
Page 78 and 79: aluik; pentru aceasta, ar trebui s
Page 80 and 81: Clasele primareProbleme propuse 1P.
Page 82 and 83: VI.98. Determinaţi cel mai mic num
Page 84 and 85: IX.94. În 4ABC, I este centrul cer
Page 86 and 87: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 88 and 89: L153. Găsiţi toate funcţiile f :
Page 90 and 91: L149. Determine the position of the
Page 92 and 93: 2. Să se rezolve sistemul de ecua
Page 95 and 96: Revista semestrială RECREAŢII MAT
show all

Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?