Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

µ 2S 1 OD · dist (A, BD)=S 2 OB · dist (A, BD) = c şi astfel S S1= , prin urmare S 1 = √ S · S 2 .AmS 2 S 2obţinut că S = √ S · S 2 + S 2 , deciSS 2=1+r SS 2,adică c 2 =1+c. Rezultăcăc =1+ 1 (c este tocmai numărul de aur), de unde concluzia problemei.cVII.86. Fie A un punct pe manta unei mese de biliard circulare cu raza de 1 m.ObilăpleacădinA şi ajunge înapoi în A lovind manta de cel puţin trei ori; reflexiabileisefaceconsiderândcăaceastaloveşte un perete plan tangent la cerc în punctulde contact. Să searatecăexistă o infinitate de traiectorii posibile şi să sedeterminetraiectoria de lungime minimă.Cristian Lazăr, IaşiSoluţie. Considerând un poligon regulat cu n laturi, n ≥ 4, înscris în cerculdat, vârfurile acestuia pot fi punctele de contact cu manta ale bilei într-o traiectoriedorită; poligonul poate fi chiar unul stelat! Lungimea minimă a traiectoriei se atingeîn cazul triunghiului echilateral înscris în cerc, al cărui perimetru va fi 3 √ 3m.VII.87. Otablă are forma unui dreptunghi 4 × 5, formatdin20 de pătrăţele1 × 1. Avem la dispoziţie două jetoane, fiecare putând acoperi câte un pătrăţel. Încâte moduri putem aşeza jetoanele pe tablă, astfel încât ele să nuseaflenicipeaceeaşi linie, nici pe aceeaşi coloană? Generalizare.Gabriel Popa, IaşiSoluţie. Numărăm întâi în câte moduri putem aşeza jetoanele pe tablă, în absenţarestricţiei din enunţ. Dacă jetoanele ar fi numerotate, ar exista 20·19 modalităţi20 · 19de aşezare a lor; cum nu contează ordinea,avem = 190 modalităţi de aşezare.2Dintre acestea, 10 conţin cele două jetoane pe prima linie, 10 pe a doua linie etc.,deci 40 de aşezări au jetoanele pe aceeaşi linie. Apoi, există 6 aşezări cu jetoanele peprima coloană etc.,deci6 · 5=30de aşezări cu jetoanele pe aceeaşi coloană.În final, avem 190 − 40 − 30 = 120 aşezări ce verifică enunţul.Generalizare. În cazul unei table m × n, avemmn (mn − 1)2modalităţi de aşezare.−mn (n − 1)2−mn (m − 1)2= mn2(m − 1) (n − 1)Clasa a VIII-aVIII.81. Considerăm fixate numerele a, b ∈ Z ∗ , m, n ∈ N ∗ , m 6= n şi fie funcţiaf : N → Z, f (x) =ax+b. Dacă f (1)+f (2)+···+f (m) =f (1)+f (2)+···+f (n),să se calculeze suma S = f (1) + f (2) + ···+ f (m + n).¡ Dan Nedeianu, Dr.Tr.Severinm 2 + m ¢ ¡a n 2 + n ¢ aSoluţie. Din relaţia din ipoteză deducem că+mb =+nb.22Trecem totul într-un membru şi simplificăm prin m−n 6= 0; rezultăcă a (m + n +1)+151