Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

2. Determinaţi numerele n ∈ N, n ≥ 3 şi a ∈ R pentru care polinomul X n +aX−1are un divizor de foma X 2 + αX + β cu α, β ∈ Z.Mihail Bălună1R3. Determinaţi funcţiile crescătoare f :[0, 1] → R pentru care¯ f (x) e nx dx¯ ≤0≤ 2008, pentruoricen ∈ N.Mihai Piticari4. Fie A un inel finit în care numărul elementelor inversabile este egal cu numărulelementelor nilpotente. Să searatecănumărul elementelor inelului este o putere alui 2. (Un element x ∈ A se numeste nilpotent dacă există k natural cu x k =0.)Dinu ŞerbănescuConcursul de matematică “Florica T. Câmpan”Etapa judeţeană, 16-17 februarie 2008Clasa a IV-a1. a) Găsiţi regula de formare a şirului3,8,13,... şi scrieţi termenul de pe locul31.b) După un concurs de matematică, un elev nu şi-a amintit rezultatul unei probleme.Totuşi, şi-a adus aminte că numărul are şase cifre, începe cu 1 şi dacă primacifră semutălasfârşit, atunci numărul obţinut va fi de trei ori mai mare decât celiniţial. Care a fost rezultatul problemei?2. Mergândcumaşina, un şofer observă la ora 09:10 că pekilometrajuldelabord apare numărul 12921. La ora 11:00, pe kilometraj apare următorul număr carecoincide cu răsturnatul său. La ce oră vaobservaşoferuldinnouunastfeldenumăr,presupunând că sedeplaseazăcuviteză constantă?Gabriel Mîrşanu, Recreaţii Matematice 1/20013. Pe o foaie este scris numărul A = 1234xy. Cinci elevi joacă următorul joc:fiecare dintre primii patru citeşte numărul, îşi fixează câte o regulă de transformarealuişi scrie pe tablă numărul transformat. Al cincilea, care cunoaşte doar primelepatru cifre ale lui A, trebuie să ghiceascăregulafiecăruia dintre colegi şi să încercesă aflenumărul. Ştiind că primii patru au scris pe tablă numerele 123500, 123470,123460, 120000, se cere:a) Care sunt regulile de transformare observate de al cincilea elev?b) Poate al cincilea elev să aflecuexactitatenumărul? Care sunt valorile posibileale numărului A?Petru AsafteiClasa a V-a1. La un concurs se acordă cinci puncte pentru premiul I, trei puncte pentru aldoilea şi două puncte pentru al treilea. Aflaţi numărul de premii primite de eleviiunei şcoli, ştiind că auobţinut în total 25 de puncte şi cel puţin cîte două premiidinfiecare categorie.2. Un număr natural se numeşte simpatic dacă este format din cifre distinctenenule, a căror sumă se divide cu 10.136