Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

a) Să searatecăînfermănupotfi101 găini.b) Să searatecănumărul oilor nu poate fi egal cu numărul vacilor.Petru Asaftei, IaşiSoluţie. a) Notăm cu g, o, v numărul găinilor, oilor, respectiv vacilor. Se ştie că2g +4o +4v = 324, de unde g +2(o + v) =162, deci g trebuie să fienumăr par.b) Cum g + o + v este număr impar, iar g este par, rezultă că o + v este numărimpar, prin urmare o şi v au în mod necesar parităţi diferite.V.83. Să se demonstreze că 13 | abc dacă şi numai dacă 13 | 3 · ab − c.Otilia Nemeş, Ocna MureşSoluţie. Avem:13 | abc ⇔ 13 | 10 · ab + c ⇔ 13 | 13 · ab − ¡ 10 · ab + c ¢ ⇔ 13 | 3 · ab − c.V.84. Determinaţi cel mai mic şi cel mai mare număr natural de 90 de cifre,divizibile cu 90 şi având suma cifrelor 90.Carmen Daniela Tamaş, BârladSoluţie. Un număr cu suma cifrelor 90 este oricum divizibil cu 9; pentruafidivizibil şi cu 10, eltrebuiesăsetermineîn0. Celmaimarenumăr cu proprietateadorită vafi99| {z...9}00| {z...0}, iar cel mai mic 100...0| {z }899...9| {z }0.10 8078 9V.85. Fie a, b ∈ N; săsearatecădacă ultima cifră anumărului a 2 + b 2 este 9,atunci ultima cifră alui(a + b) 2 este tot 9. Reciprocaesteadevărată?Ioan Săcăleanu, HârlăuSoluţie. Ultima cifră aunuipătrat perfect poate fi 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. DacăU ¡ a 2 + b 2¢ =9, obligatoriu U ¡ a 2¢ =0, U ¡ b 2¢ =9(sau invers) sau U ¡ a 2¢ =4,U ¡ b 2¢ =5(sau invers). În primul caz , vom avea U (a) =0, U (b) ∈ {3, 7} (sauinvers), deci U (a + b) ∈ {3, 7} şi atunci U³(a 2´+ b) =9. În al doilea caz, vom aveaU (a) ∈ {2, 8}, U (b) =5(sau invers), deci U (a + b) ∈ {3, 7} şi din nou obţinem căU³(a 2´+ b) =9.Reciproca este falsă; de exemplu, pentru a =2, b =1avem că (a + b) 2 =9,însăa 2 + b 2 =5.V.86. a) Să serezolveînnumerenaturaleecuaţia x 2 + y 2 = 625.b) Să searatecăecuaţia x 2 + y 2 = 2007 nu are soluţii în N 2 .Valerica Benţa, IaşiSoluţie. a) Scădem din 625, pe rând, fiecare pătrat perfect care nu-l depăşeşte;rezultatul este tot pătrat perfect în cazurile 625 − 49 = 576, 625 − 225 = 400, 625 −400 = 225 şi 625−576 = 49. Obţinem soluţiile (x, y) ∈ {(7, 24) ; (15, 20) ; (20, 15) ; (24, 7)}.b) Un pătrat perfect dă laîmpărţirea prin 4 fie restul 0, fierestul1, deci x 2 +y 2 poate fi M 4 , M 4 +1sau M 4 +2.Cum2007 = M 4 +3,ecuaţia dată nuaresoluţiiîn N 2 .V.87. Să searatecă 7 51 > 3 89 .146Nela Ciceu, Bacău