Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

1RRf (x) dx. Deducem că 2 1 Rx (f (x)+f (1 − x)) dx =2 1 f (x) dx, adicătocmaiconcluziaproblemei.000Problema 4. a) Putem scrie că p q − q p =(p − q) ¡ p q−1 + qp q−2 + ···+ q q−1¢ −q q (q p−q − 1); deoarece (p − q, q q )=1, deducem că p − q | p q − q p dacă şi numai dacăp − q | q p−q − 1.b) Rezultatul de la punctul a) se reformulează astfel: p − q | p q − q p dacă şi numaidacă q p−q ≡ 1 (mod (p − q)). Dar (p − q, q) =1,deciq ϕ(p−q) ≡ 1 (mod (p − q))(teorema lui Euler); deoarece ϕ (p − q) =ϕ (2r) =r − 1, deducem că q r−1 ≡ 1(mod (p − q)) şi q 2r ≡ 1 (mod (p − q)). Dar (r − 1, 2r) =2, deci p − q | p q − q p dacăşi numai dacă q 2 ≡ 1 (mod (p − q)).Particularizând, se pot obţine o serie de probleme interesante; iată câteva exemple:34 | 67 101 − 101 67 , 34 | 137 103 − 103 137 , 22 | 881 859 − 859 881 , 6 | 2011 2017 − 2017 2011 .1. La data de 15 ianuarie 1883 a apărut primul număr al revistei Recreaţii Ştiinţifice(1883—1888). În anul acesta, 2008, se împlinesc 125 de ani de la apariţiaacesteia.Scrieţi 2008 folosind numărul 125 şi (numai) operaţiile de adunare şi împărţire!Care este numărulmaximdeoperaţii cu care puteţi face această scriere? Dar celminim? (Nu se acceptă termeni nuli!)2. Se dau trei cifre şi un rezultat. Indicaţi operaţiile necesare pentru a restabiliegalitatea!1 1 1 = 82 2 2 = 83 3 3 = 84 4 4 = 85 5 5 = 86 6 6 = 87 7 7 = 88 8 8 = 89 9 9 = 8.Notă. Răspunsurile pot fi găsite la pag. 160.142
Soluţiile problemelor propuse în nr. 2 / 2007Clasele primareP.134. De la apartamentul meu cobor 7 etaje, apoi urc 4 etaje şi observ că suntla etajul 9. La ce etaj locuiesc?(Clasa I )Dragoş Iacob,elev,IaşiSoluţie. 9+(7− 4)=9+3=12.Eulocuiesclaetajul12.P.135. În trei vase sunt 36 nuci. Dacă din primul vas se iau 3 nuci şi din altreilea o nucă şi se pun în al doilea vas, atunci în fiecare vas va fi acelaşi număr denuci. Câte nuci au fost la început în fiecare vas?(Clasa I )Înv. Rica Bucătariu, IaşiSoluţie. Din 36 = 12 + 12 + 12 obţinem: în primul vas erau 12 + 3 = 15 nuci; înal doilea vas 12 − 3 − 1=8nuci, iar în al treilea vas 12 + 1 = 13 nuci.P.136. Aflaţi vârsta tatălui meu, ştiind că esteunnumăr cuprins între 35 şi 41,dublul lui între 73 şi 77, iar triplul lui este cuprins între 112 şi 118.(ClasaaII-a)Iurie Juc, elev, IaşiSoluţie. Numerele cuprinse între 35 şi 41 sunt 36, 37, 38, 39 şi 40. Numărul 36nu verifică adouacondiţie, iar numărul 37 nu verifică a treia condiţie. Numărul 38verifică toate condiţiile, iar dacă vârstaestemaimareca38, atunci dublul vârsteidepăşeşte pe 77. Tatăl are 38 ani.P.137. Dorin, Oana şi Claudia se pregătesc pentru Concursul "Florica T. Câmpan".Oana a rezolvat 5 probleme. Dorin a rezolvat un număr de probleme în plusfaţă de Oana, egal cu numărul de probleme rezolvate în plus de Oana faţă deClaudia.Câte probleme au rezolvat împreună cei trei copii?(ClasaaII-a)Inst. Maria Racu, IaşiSoluţie. Cei trei copii au rezolvat împreună 5+(5+a)+(5− a) =15probleme.P.138. Doi taţi şi trei fii au împuşcat fiecare câte un iepure. Când i-au numărat,au văzut că au doar patru iepuri. De ce?(Clasa a III-a)Inst. Elena Niţă, IaşiSoluţie. Echipa de vânători este <strong>format</strong>ă din doi feciori, tatăl lor şi bunicul celordoi feciori.P.139. Mutaţi un singur chibrit pentru a obţine o egalitate:(Clasa a III-a)Nicolae Ivăşchescu, CraiovaSoluţie. Mutăm chibritul orizontal de la semnul de operaţie plus şi obţinem:P.140. Descoperă regula de completare a jetoanelor10011112213 14 ...98729981143
Page 1: Anul X, Nr. 2Iulie - Decembrie 2008
Page 6: A colaborat la elaborarea unui trat
Page 10 and 11: pământ primele capitole elevate d
Page 12 and 13: de "Gazeta Matematică".La 125 de a
Page 14 and 15: calendarul iudaic). De la data Conc
Page 16: mecanic virtual".CursulluiM.Tzony(
Page 22 and 23: Câteva probleme de teoria numerelo
Page 24 and 25: Soluţie. De astă dată, pe lâng
Page 26 and 27: Se demonstrează imediatcă H 1 H 2
Page 28 and 29: În scopul propus, să notăm x n =
Page 30 and 31: Cercuri semiînscriseşi puncte de
Page 32 and 33: O rafinare a inegalităţii lui Jen
Page 34 and 35: Asupra unor inegalităţi geometric
Page 36 and 37: Grupând convenabil, obţinem(3ab +
Page 38 and 39: Oproblemă şi ... nouăsoluţiiGhe
Page 40 and 41: utină, rezultă că DN = a ¡ 3+
Page 42 and 43: où µ, ν sont des réels arbitrai
Page 44 and 45: Concursul de matematică “Al. Myl
Page 46 and 47: 2. Determinaţi numerele n ∈ N, n
Page 48 and 49: din cele patru colţuri, se poate a
Page 50 and 51: două triunghiuri dreptunghice. Dac
Page 54 and 55: şi calculează câtenumerediferite
Page 56 and 57: a) Să searatecăînfermănupotfi10
Page 58 and 59: VI.84. Pentru n ∈ N ∗ , definim
Page 60 and 61: a) dacă a 3 − b 3 = a + b, atunc
Page 62 and 63: 2b =0.Atunci(m + n)(m + n +1)af (1)
Page 64 and 65: = x 1 x 2 − 2, de unde rezultă c
Page 66 and 67: g (x) =x 3 − e −x +1 este stric
Page 68 and 69: u 2 n +9. Deoarece (u n ) este conv
Page 70 and 71: a 0 a 2 Y 2n−1 + ···+ a 2n0 a
Page 72 and 73: Prin urmare, este suficient să dem
Page 74 and 75: când α =90 ◦ . În cazul nostru
Page 76 and 77: Apoi, să observăm că are loc ide
Page 78 and 79: aluik; pentru aceasta, ar trebui s
Page 80 and 81: Clasele primareProbleme propuse 1P.
Page 82 and 83: VI.98. Determinaţi cel mai mic num
Page 84 and 85: IX.94. În 4ABC, I este centrul cer
Page 86 and 87: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 88 and 89: L153. Găsiţi toate funcţiile f :
Page 90 and 91: L149. Determine the position of the
Page 92 and 93: 2. Să se rezolve sistemul de ecua
Page 95 and 96: Revista semestrială RECREAŢII MAT

Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?