Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilordin nr. 2/2007A. Nivel gimnazialG126. Să se determine numerele naturale care au proprietatea că media geometricăa tuturor divizorilor lor este un număr natural....,Petru Minuţ, Iaşin nSoluţie. Fie 1 = d 1 < d 2 < ··· < d k = n divizorii lui n; atunci , ,d 1 d 2nd keste şirul aceloraşi divizori, scris descrescător, prin urmare d 1 d 2 ···d k =n kd 1 d 2 ···d k, de unde (d 1 d 2 ···d k ) 2 = n k . Media geometrică a tuturor divizorilor luin este k√ d 1 d 2 ···d k = √ n şi este număr natural dacă şi numai dacă n este pătratperfect.G127. Dacă a, b, c, x, y, z, t sunt numere reale pozitive, să se demonstrezeinegalitatea1ax+by+cz + 1ay+bz+ct + 1az+bt+cx + 1at+bx+cy ≥ 8√ √3 a2 +b 2 +c 2p x 2 +y 2 +z 2 +t . 2D. M. Bătineţu-Giurgiu, BucureştiSoluţie. Observăm că produsul(a + b + c)(x + y + z + t) este, după desfacereaparantezelor, tocmai suma numitorilor din membrul stâng ai inegalităţii de demonstrat.Notăm acest membru stâng cu S; folosind inegalitatea dintre media aritmeticăşi cea armonică, obţinem16(a + b + c)(x + y + z + t) S ≥ 16 ⇔ S ≥(a + b + c)(x + y + z + t) .Însă a + b + cra 2 + b 2 + c 2≤şi x + y + z + trx 2 + y 2 + z 2 + t 2≤(inegalitatea3344dintre media aritmetică şi cea pătratică) şi atunci concluzia problemei urmează. Egalitatease atinge când a = b = c şi x = y = z = t.G128. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel încât abc =1şi fie t ∈ [1, 5]. Săse arate căaa 2 + t + bb 2 + t + cc 2 + t ≤ 3t +1 .Titu Zvonaru, Comăneşti şi Bogdan Ioniţă, BucureştiSoluţie. Deoarece abc =1,există numerele reale pozitive x, y, z astfel încâta = x y , b = y z , c = z x .Avemcă⇒aa 2 + t =aa 2 + t +xyx 2 + ty ≤bb 2 + t +xy2xy +(t − 1) y 2 =x2x +(t − 1) y = x 22x 2 +(t − 1) xy ⇒cc 2 + t ≤ x 22x 2 +(t−1) xy + y 22y 2 +(t−1) yz + z 22z 2 +(t−1) zx ≤≤(x + y + z) 22(x 2 + y 2 + z 2 )+(t − 1) (xy + yz + zx) .161