Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

g (x) =x 3 − e −x +1 este strict crescătoare şi g (0) = 0, concluzionăm că ecuaţiax 3 − e −x +1 = 0 are soluţia unică x =0. Prin urmare, ecuaţia dată aresoluţia unicăx =0.X.83. În exteriorul triunghiului ABC se construiesc triunghiurile isoscele BMA,ANC şi CPB de baze AB, AC şi respectiv BC, astfel încât m( \MAB) = 15 ◦ ,m(\NAC)=45 ◦ ,iarm(\PBC)=30 ◦ .Săsearatecă m( \MPN)=60 ◦ .Angela Ţigăeru, SuceavaSoluţie. Vom nota afixul fiecărui punct cu litera micăce îi corespunde. Deoarece −−→ MA se obţine din −−→ MB în urma5πunei rotaţii în jurul lui M de unghi6 ,avemcă a − m =³(b−m) cos 5π 6 +i sin 5π ´, de unde m= 2a+b√ 3−bi62+ √ 3 − i .Analoggăsim afixele punctelor P şi N, anumep = 2b + c − c√ 3i3 − √ ,3irespectiv n = c − ai1 − iconcluzia problemei.. Prin calcule,m − pn − p = ¡√ 3 − 1 ¢ ³ cos π 3 + i sin π 3´şi de aiciX.84. Fie ABC un triunghi în care (tg B − 1) (tg C − 1) = 2. Dacă M şi Nsunt picioarele înălţimilor din B, respectivC, săsearatecăsegmenteleBM, CNşi MN se pot constitui în laturi ale unui triunghi.Cătălin Calistru, IaşiSoluţie. Problema este înrudită cu VI.30, publicată de acelaşi autor în RecMat1/2002. Ca şi acolo, cheia rezolvării este aceea de a arăta că m( A)=45 b ◦ ; atuncitriunghiurile ABM şi ACN vor fi dreptunghice isoscele, cu BM = AM şi CN = AN,deci segmentele din enunţ seconstituieînlaturiale4AMN.Deoarece tg A +tgB +tgC =tgA tg B tg C (identitate cunoscută), relaţia dinipotezăesteechivalentăcu1+tg B+tg C =tgB tg C,i.e. (tg A − 1) (tg B tg C − 1) =0. Se observăuşor că al doilea factor nu se poate anula, deci rămâne că tg A =1,adică m( A)=45 b ◦ .X.85. Se prelungeşte diametrul [MN] al unui cerc C cu segmentul [NP] congruentcu [MN]. Fie d perpendiculara în P pe MN şi R ∈ d, oarecare. Tangenteleduse prin R la C intersectează tangentaînM la C în S şi T .Săsearatecă centrulde greutate al 4RST este un punct fix.Adrian Reisner, ParisSoluţie. Raportăm planul la un reper ortogonal cu origineaîn M, având dreapta MN ca axă Ox şi tangenta în Mla C drept axă Oy. Fie a raza cercului C; atunci M (0, 0),2N (a, 0), P (2a, 0), iarR (2a, λ), cuλ variabil şi fie S (0,s).Ecuaţia dreptei RS este (λ − s) x − 2ay +2as = 0 şi,impunând condiţia că d (O, RS) = a 2 ,obţinem:¯ a2(λ − s)+2as¯¯q= a q(λ − s) 2 +4a 2 2 ⇔ |λ +3s| = (λ − s) 2 +4a 2 ⇔ 2s 2 +2λs − a 2 =0.156