Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

Probleme pentru pregătirea concursurilorA. Nivel gimnazialG146. Fie x, y, z ∈ (0, ∞) astfel încât xyz =1.Arătaţi căxy 3x 4 + y + z + yz 3y 4 + z + x + zx 3z 4 + x + y ≥ 1.Liviu Smarandache şi Lucian Tuţescu, CraiovaG147. Fie n ∈ N, n ≥ 2, fixat,iara, b, c sunt numere naturale astfel încâth n − 1ina +(n +1)b +2nc = n 2 +1.Arătaţi că n − ≤ a + b + c ≤ n.2Gheorghe Iurea, IaşiG148. Fie a 1 a 2 ...a p ∈ N. Săsearatecăoricenumăr natural are un multiplude forma a 1 a 2 ...a p a 1 a 2 ...a p ...a 1 a 2 ...a p 0 ...0.Marian Panţiruc, IaşiG149. a) Determinaţi două numere prime p, q astfel încât p
mijloacele arcului mic BC, respectiv arcului mare BC. SăsearatecădrepteleAM,DN şi BC sunt concurente.Gabriel Popa, IaşiB. Nivel licealL146. În plan se consideră drepteled 1 , d 2 ,..., d n+1 , oricare două neparalele.Notăm cu α k = m( d k\,d k+1 ), α k ≤ 90 ◦ , k = 1,n. Pe d 1 se consideră unsegmentde lungime 2 care se proiectează ped 2 ,apoisegmentulobţinut se proiectează ped 3 şi tot aşa, până cândped n+1 se obţine un segment de lungime 1. Ştiind cătg ¡ min © α i | i = 1,n ª¢ = p √ n4 − 1, determinaţi unghiurile α k , k = 1,n.Cristian Săvescu, student, BucureştiL147. Se consideră un poligon convex cu n laturi, n ≥ 4, având proprietatea căoricare două diagonale nu sunt paralele şi oricare trei nu sunt concurente în punctediferite de vârfurile poligonului. Se notează cun i numărul punctelor de intersecţie adiagonalelor interioare poligonului şi cu n e cel al punctelor de intersecţie exterioarepoligonului.a) Să searatecăexistă exact opt poligoane care verifică relaţia n i >n e .b) Să searatecăexistă exact trei poligoane pentru care n i + n e = kn 2 , k ∈ N ∗ .Mihai Haivas, IaşiL148. Pe latura (AB) a triunghiului ABC considerăm punctul D astfel încâtAB =4AD. De aceeaşi parte a laturii AB ca şi punctul C, luăm un punct Pastfel încât \PDA ≡ \ACB şi PB =2PD. Demonstraţi că patrulaterul ABCP esteinscriptibil.Nela Ciceu, Bacău şi Titu Zvonaru, ComăneştiL149. Să se determine poziţia punctului P pe directoarea parabolei P, astfelîncât aria triunghiului PT 1 T 2 săfieminimă, unde T 1 şi T 2 sunt punctele de contactcu parabola ale tangentelor duse din P la P.Adrian Corduneanu, IaşiL150. Fie tetraedrul A 1 A 2 A 3 A 4 ,iarP un punct în interiorul său. Notăm cuA ij ∈ (A i A j ) proiecţiile ortogonale ale lui P pe muchiile A i A j ale tetraedrului.Demonstraţi căV PA12 A 13 A 23+ V PA12 A 14 A 24+ V PA13 A 14 A 34+ V PA23 A 24 A 34≤ 1 4 V A 1 A 2 A 3 A 4.Când se atinge egalitatea?Marius Olteanu, Rm. Vâlceah L151. Să se demonstreze că nu există numere naturale n şi k astfel încât¡2+ √ ¢ 2n+1i h ¡4+ √ ¢ ki3 = 15 .Cosmin Manea şi Dragoş Petrică, PiteştiL152. Pentru a, b, c ∈ R şi x ∈ R + ,demonstraţi inegalitatea9a 2 + b 2 + c 2 ≤ 3(x +1) 2 (a + b + c) 4h3(x 2 +1)(a 2 + b 2 + c 2 )+2x(a + b + c) 2i ≤ 1 (ab + bc + ca) 2 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 .I. V. Maftei şi Dorel Băiţan, Bucureşti177
Page 1:
Anul X, Nr. 2Iulie - Decembrie 2008
Page 6:
A colaborat la elaborarea unui trat
Page 10 and 11:
pământ primele capitole elevate d
Page 12 and 13:
de "Gazeta Matematică".La 125 de a
Page 14 and 15:
calendarul iudaic). De la data Conc
Page 16:
mecanic virtual".CursulluiM.Tzony(
Page 22 and 23:
Câteva probleme de teoria numerelo
Page 24 and 25:
Soluţie. De astă dată, pe lâng
Page 26 and 27:
Se demonstrează imediatcă H 1 H 2
Page 28 and 29:
În scopul propus, să notăm x n =
Page 30 and 31:
Cercuri semiînscriseşi puncte de
Page 32 and 33:
O rafinare a inegalităţii lui Jen
Page 34 and 35:
Asupra unor inegalităţi geometric
Page 36 and 37: Grupând convenabil, obţinem(3ab +
Page 38 and 39: Oproblemă şi ... nouăsoluţiiGhe
Page 40 and 41: utină, rezultă că DN = a ¡ 3+
Page 42 and 43: où µ, ν sont des réels arbitrai
Page 44 and 45: Concursul de matematică “Al. Myl
Page 46 and 47: 2. Determinaţi numerele n ∈ N, n
Page 48 and 49: din cele patru colţuri, se poate a
Page 50 and 51: două triunghiuri dreptunghice. Dac
Page 52 and 53: 1RRf (x) dx. Deducem că 2 1 Rx (f
Page 54 and 55: şi calculează câtenumerediferite
Page 56 and 57: a) Să searatecăînfermănupotfi10
Page 58 and 59: VI.84. Pentru n ∈ N ∗ , definim
Page 60 and 61: a) dacă a 3 − b 3 = a + b, atunc
Page 62 and 63: 2b =0.Atunci(m + n)(m + n +1)af (1)
Page 64 and 65: = x 1 x 2 − 2, de unde rezultă c
Page 66 and 67: g (x) =x 3 − e −x +1 este stric
Page 68 and 69: u 2 n +9. Deoarece (u n ) este conv
Page 70 and 71: a 0 a 2 Y 2n−1 + ···+ a 2n0 a
Page 72 and 73: Prin urmare, este suficient să dem
Page 74 and 75: când α =90 ◦ . În cazul nostru
Page 76 and 77: Apoi, să observăm că are loc ide
Page 78 and 79: aluik; pentru aceasta, ar trebui s
Page 80 and 81: Clasele primareProbleme propuse 1P.
Page 82 and 83: VI.98. Determinaţi cel mai mic num
Page 84 and 85: IX.94. În 4ABC, I este centrul cer
Page 88 and 89: L153. Găsiţi toate funcţiile f :
Page 90 and 91: L149. Determine the position of the
Page 92 and 93: 2. Să se rezolve sistemul de ecua
Page 95 and 96: Revista semestrială RECREAŢII MAT
show all

Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?