Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

n = ks, cus ∈ N. Considerăm mulţimile:M 1 = {2, 3,...,s,s+1, −1, −2,...,− (s − 1) , −s} ;M 2 = {s +2,...,2s, 2s +1, − (s +1),...,− (2s − 1) , −2s} ;..M k−1 = {(k − 2) s +2,...,(k − 1) s, (k − 1) s +1, − ((k − 2) s +1),...,− (k − 1) s} ;M k = {1, (k − 1) s +2,...,ks,− ((k − 1) s +1),...,− (ks − 1)}şi este evident că M = M 1 ∪M 2 ∪···∪M k , M i ∩M j = ∅, ∀i 6= j, iar suma elementelororicărei mulţimi M i este s.G132. În fiecare câmp unitate al unei livezi m × n se află câteunmăr. Unnumăr de k arici pornesc, pe rând, din câmpul stânga-sus al livezii şi se mişcă sprecâmpul din dreapta-jos. La fiecare mişcare, un arici se poate deplasa cu un câmp,spre dreapta sau în jos, fără aieşi din livadă. Ariciul poate să culeagămărul dincâmpul pe care îl vizitează, dacă nu a fost cules deja de alt arici. Care este numărulminim k, pentru care k arici pot să culeagătoatemerele?Iurie Boreico, elev, ChişinăuSoluţie. Numerotăm câmpurile (x, y), cux ∈ {1, 2,...,m}; y ∈ {1, 2,...,n},începând din colţul stânga-sus. Fiecare mişcare a unui arici duce la mărirea coordonateix sau y acâmpuluipecareseaflăcu1, adică suma coordonatelor creştecu 1 la fiecare mişcare a unui arici. În particular, un arici poate să viziteze celmult un câmp de pe diagonala x + y = k. Cea mai lungă diagonală are lungimeamin (m, n) (diagonalele cu această lungimesuntx + y = m +1, x + y = m +2, ...,x + y = n +1 dacă, de exemplu, asumăm că m ≤ n), prin urmare avem nevoie de celpuţin min (m, n) arici care să culeagă toate merele de pe această diagonală; rezultăk ≥ min (m, n). Pedealtăparte,unnumăr de min (m, n) arici sunt suficienţi: încazul m ≤ n, putem considera că primul arici merge spre dreapta până lamarginealivezii, apoi coboară pânăladestinaţie; al doilea merge o unitate în jos, apoi spredreapta până la marginea livezii, după care coboară; al treilea merge două unităţi înjos ş.a.m.d.Răspunsul este deci k =min(m, n).G133. Fie 4ABC echilateral şi D un punct astfel încât BD = DC, m(\BDC) =30 ◦ ,iarBC separă A şi D. Dacă E ∈ (BD) cu m(\BAE) =15 ◦ ,săsearatecăCE ⊥ AC.Enache Pătraşcu, FocşaniNotă. A se vedea nota Oproblemă şi. . . nouă soluţii din acest număr al revistei,pag. 128.G134. Se consideră patrulaterul convex ABCD înscris într-un cerc de rază √ 6cm, având m( A)=60 b ◦ şi m( B)=45 b ◦ . Săsearatecă aria patrulaterului este celmult egală cu3 √ 6 cm 2 .Constantin Apostol, Rm. SăratSoluţie (Gabriel Popa). Cu teorema sinusurilor în 4ABC şi în 4ABD,obţinem că AC =2R sin 45 ◦ =2 √ 3 cm, respectiv BD =2R sin 60 ◦ =3 √ 2 cm.Dacă α = m( AC, \ BD), aria patrulaterului este S = 1 AC · BD · sin α şi este maximă2163