Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

où µ, ν sont des réels arbitraires. Compte tenu de la Proposition 1, on obtientimmédiatement la forme générale des matrices magiques:⎛A = λ ⎝ 0 1 −1 ⎞ ⎛−1 0 1 ⎠ + µ ⎝ 1 −1 0 ⎞ ⎛−1 0 1 ⎠ + ν ⎝ 1 1 1 ⎞1 1 1⎠ =1 −1 0 0 1 −1 1 1 1= 1 2 (λ − µ) M − 1 (λ + µ) N + νL.2Les trois matrices M, N et L étant linéairement indépendentes on a, donc, leThéorème 3. L’ensemble des matrices 3×3 magiques est un sous-espace vectorielde M 3 (R). Ce sous-espace vectoriel a pour dimension 3, unebaseétantforméeparles trois matrices L, M et N.Etant donné les deux matrices A = αM + βN + γL et B = α 0 M + β 0 N + γ 0 Lnous avons:Proposition 4. Le produit AB est une matrice magique si et seulement si on aαβ 0 = βα 0 =0. La matrice L est la seule matrice (à un facteur scalaire près) quisoit magique et produit de deux matrices magiques.Démonstration. Les relations évidentes: M 2 = N 2 = ML = LM = NL =LN =0, L 2 =3L et MN + NM =12I − 4L conduisent immédiatement à:AB =(αM + βN + γL) ¡ α 0 M + β 0 N + γ 0 L ¢ =⎛=3γγ 0 L + ⎝ 2βα0 +6αβ 0 −4βα 0 2βα 0 − 6αβ 0 ⎞−4βα 0 8βα 0 −4βα 0 ⎠2βα 0 − 6αβ 0 −4βα 0 2βα 0 +6αβ 0et par suite à l’équivalence: AB est une matrice magique ⇔ αβ 0 = βα 0 =0. Onobtient les quatre cas suivants:• α = β =0 ⇒ λL ¡ α 0 M + β 0 N + γ 0 L ¢ =3γγ 0 L (1)• α = α 0 =0 ⇒ (βN + γL) ¡ β 0 N + γ 0 L ¢ =3γγ 0 L (2)• β = β 0 =0 ⇒ (αM + γL)(α 0 M + γ 0 L)=3γγ 0 L (3)• α 0 = β 0 =0 ⇒ γ 0 L (αM + βN + γL) =3γγ 0 L (4)Les deux cas (1), (4) n’en forment qu’un seul. Les cas (2), (3) sont identiques àun échange de matrices près. On en déduit immédiatement la deuxième partie de laProposition 4.Proposition 5. Le produit d’une matrice magique par une combinaison linéairede L et I est une matrice magique.Démonstration. De façon évidente la matrice:(αM + βN + γL)(α 0 I + γ 0 L)=αα 0 M + βα 0 N +(γα 0 +3γγ 0 ) Lest magique.Proposition 6. A = αM + βN + γL est inversible si et seulement si αβγ 6= 0.De plus, dans le cas où αβγ 6= 0la matrice A −1 est elle même magique.Démonstration. La proposition est immédiate puisque det (αM + βN + γL) =−36αβγ. Dans le cas où αβγ 6= 0il vient: A −1 = 1 µ 336 β M + 3 α N + 4 γ L qui estbien une matrice magique.132