a 0 a 2 Y 2n−1 + ···+ a 2n0 a 2n+1 . Rezultă că y i ∈ Z şi y i | a 2n0 a 2n+1 , ∀i = 1, 2n +1.Cum a 0 a 2n+1 este impar, atunci a 2n0 a 2n+1 este impar, deci y i , i = 1, 2n +1 suntnumere impare. Din prima relaţie Viète, 2n+1 Py i = −a 1 , rezultă că a 1 este impar.Apoi, din P i
Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilordin nr. 2/2007A. Nivel gimnazialG126. Să se determine numerele naturale care au proprietatea că media geometricăa tuturor divizorilor lor este un număr natural....,Petru Minuţ, Iaşin nSoluţie. Fie 1 = d 1 < d 2 < ··· < d k = n divizorii lui n; atunci , ,d 1 d 2nd keste şirul aceloraşi divizori, scris descrescător, prin urmare d 1 d 2 ···d k =n kd 1 d 2 ···d k, de unde (d 1 d 2 ···d k ) 2 = n k . Media geometrică a tuturor divizorilor luin este k√ d 1 d 2 ···d k = √ n şi este număr natural dacă şi numai dacă n este pătratperfect.G127. Dacă a, b, c, x, y, z, t sunt numere reale pozitive, să se demonstrezeinegalitatea1ax+by+cz + 1ay+bz+ct + 1az+bt+cx + 1at+bx+cy ≥ 8√ √3 a2 +b 2 +c 2p x 2 +y 2 +z 2 +t . 2D. M. Bătineţu-Giurgiu, BucureştiSoluţie. Observăm că produsul(a + b + c)(x + y + z + t) este, după desfacereaparantezelor, tocmai suma numitorilor din membrul stâng ai inegalităţii de demonstrat.Notăm acest membru stâng cu S; folosind inegalitatea dintre media aritmeticăşi cea armonică, obţinem16(a + b + c)(x + y + z + t) S ≥ 16 ⇔ S ≥(a + b + c)(x + y + z + t) .Însă a + b + cra 2 + b 2 + c 2≤şi x + y + z + trx 2 + y 2 + z 2 + t 2≤(inegalitatea3344dintre media aritmetică şi cea pătratică) şi atunci concluzia problemei urmează. Egalitatease atinge când a = b = c şi x = y = z = t.G128. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel încât abc =1şi fie t ∈ [1, 5]. Săse arate căaa 2 + t + bb 2 + t + cc 2 + t ≤ 3t +1 .Titu Zvonaru, Comăneşti şi Bogdan Ioniţă, BucureştiSoluţie. Deoarece abc =1,există numerele reale pozitive x, y, z astfel încâta = x y , b = y z , c = z x .Avemcă⇒aa 2 + t =aa 2 + t +xyx 2 + ty ≤bb 2 + t +xy2xy +(t − 1) y 2 =x2x +(t − 1) y = x 22x 2 +(t − 1) xy ⇒cc 2 + t ≤ x 22x 2 +(t−1) xy + y 22y 2 +(t−1) yz + z 22z 2 +(t−1) zx ≤≤(x + y + z) 22(x 2 + y 2 + z 2 )+(t − 1) (xy + yz + zx) .161
- Page 1:
Anul X, Nr. 2Iulie - Decembrie 2008
- Page 6:
A colaborat la elaborarea unui trat
- Page 10 and 11:
pământ primele capitole elevate d
- Page 12 and 13:
de "Gazeta Matematică".La 125 de a
- Page 14 and 15:
calendarul iudaic). De la data Conc
- Page 16:
mecanic virtual".CursulluiM.Tzony(
- Page 22 and 23: Câteva probleme de teoria numerelo
- Page 24 and 25: Soluţie. De astă dată, pe lâng
- Page 26 and 27: Se demonstrează imediatcă H 1 H 2
- Page 28 and 29: În scopul propus, să notăm x n =
- Page 30 and 31: Cercuri semiînscriseşi puncte de
- Page 32 and 33: O rafinare a inegalităţii lui Jen
- Page 34 and 35: Asupra unor inegalităţi geometric
- Page 36 and 37: Grupând convenabil, obţinem(3ab +
- Page 38 and 39: Oproblemă şi ... nouăsoluţiiGhe
- Page 40 and 41: utină, rezultă că DN = a ¡ 3+
- Page 42 and 43: où µ, ν sont des réels arbitrai
- Page 44 and 45: Concursul de matematică “Al. Myl
- Page 46 and 47: 2. Determinaţi numerele n ∈ N, n
- Page 48 and 49: din cele patru colţuri, se poate a
- Page 50 and 51: două triunghiuri dreptunghice. Dac
- Page 52 and 53: 1RRf (x) dx. Deducem că 2 1 Rx (f
- Page 54 and 55: şi calculează câtenumerediferite
- Page 56 and 57: a) Să searatecăînfermănupotfi10
- Page 58 and 59: VI.84. Pentru n ∈ N ∗ , definim
- Page 60 and 61: a) dacă a 3 − b 3 = a + b, atunc
- Page 62 and 63: 2b =0.Atunci(m + n)(m + n +1)af (1)
- Page 64 and 65: = x 1 x 2 − 2, de unde rezultă c
- Page 66 and 67: g (x) =x 3 − e −x +1 este stric
- Page 68 and 69: u 2 n +9. Deoarece (u n ) este conv
- Page 72 and 73: Prin urmare, este suficient să dem
- Page 74 and 75: când α =90 ◦ . În cazul nostru
- Page 76 and 77: Apoi, să observăm că are loc ide
- Page 78 and 79: aluik; pentru aceasta, ar trebui s
- Page 80 and 81: Clasele primareProbleme propuse 1P.
- Page 82 and 83: VI.98. Determinaţi cel mai mic num
- Page 84 and 85: IX.94. În 4ABC, I este centrul cer
- Page 86 and 87: Probleme pentru pregătirea concurs
- Page 88 and 89: L153. Găsiţi toate funcţiile f :
- Page 90 and 91: L149. Determine the position of the
- Page 92 and 93: 2. Să se rezolve sistemul de ecua
- Page 95 and 96: Revista semestrială RECREAŢII MAT
Change language