Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

Apoi, să observăm că are loc identitateaa 4 +b 4 +c 4 +(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) =2 ¡ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2¢ ,de unde obţinem căa 4 + b 4 + c 4 +16S 2 =2 ¡ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2¢ (2)Pentru triunghiul de laturi a, b, c, există un triunghi dual, având laturile m a , m b ,m c .Relaţia (1) aplicată în triunghiul dual ne dă că 2 ¡P m 2 am 2 b¢≥e Se RQ (ma + m b )şi putem scrie, folosind (2), căeS SeR =em a m b m c= 16 S e2= 2 ¡P ¢m 2 am 2 Pb − m4a.4Se 4m a m b m c 4m a m b m cCombinând aceste relaţii se obţine concluzia problemei.Notă. Principial aceeaşi soluţie a dat Marius Olteanu, inginer, Rm. Vâlcea.L129. În planul raportat la un reper cartezian xOy considerăm vectorii legaţiîn O: v 1 (a 1 ,b 1 ), v 2 (a 2 ,b 2 ), v 3 (a 3 ,b 3 ). SăsearatecăexistăuntetraedruOABCregulat, de muchie 1 şi astfel încât −→ −→ −→OA, OB, OC se proiectează peplanulxOy înv 1 , v 2 ,respectivv 3 dacă şi numai dacă se verifică simultanrelaţiile:3 ¡a22 1 + a 2 2 + a 2 ¢3 − a1 a 2 − a 1 a 3 − a 2 a 3 = 3 ¡b22 1 + b 2 2 + b 2 ¢3 − b1 b 2 − b 1 b 3 − b 2 b 3 =1;32 (a 1b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) − (a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 1 b 3 + a 3 b 1 + a 2 b 3 + a 3 b 2 )=0.Irina Mustaţă, studentă, BremenSoluţie. Completăm reperul din plan la unul în spaţiu Oxyz şi fie A (a 1 ,b 1 ,c 1 ),B (a 2 ,b 2 ,c 2 ), C (a 3 ,b 3 ,c 3 ) astfel încât OABC este tetraedru regulat de muchie 1.Din OA = OB = OC =1deducem că a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 = a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 = a 2 3 + b 2 3 + c 2 3 =1, iardinm(\AOB) =m(\BOC) =m( [COA) =60 ◦ rezultă, via produs scalar, căa 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = a 1 a 3 + b 1 b 3 + c 1 c 3 = a 2 a 3 + b 2 b 3 + c 2 c 3 = 1 . Aceste egalităţi2pot fi scrise sub formă matriceală astfel:⎛⎝ a ⎞ ⎛1 b 1 c 1a 2 b 2 c 2⎠ ⎝ a ⎞ ⎛1 a 2 a 3b 1 b 2 b 2⎠ = ⎝ 1 ⎞1 12 21 121 ⎠2. (1)1 1a 3 b 2 c 3 c 1 c 2 c 3 2 21⎛Fie X = ⎝ a ⎞ ⎛1 b 1 c 1a 2 b 2 c 2⎠, iarA = ⎝ 1 ⎞⎛⎞1 132 21 1212⎠; vomaveaA −1 2− 1 2− 1 2= ⎝− 1 32 2− 1 2⎠,1 1a 3 b 2 c 3 2 21− 1 2− 1 32 2deciX ¡ X T A −1¢ = I 3 (2)Evident, de aici avem că X T A −1 X = I 3 şi, după efectuarea calculelor, se vor obţineexact cele trei condiţii din enunţul problemei.Să arătăm acum că acestecondiţii sunt suficiente, adică sădemonstrăm că putemgăsi c 1 , c 2 , c 3 care să dea restul condiţiilor din egalitatea (2). Ecuaţiile în care apar166