Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

Asupra unor inegalităţi geometriceGheorghe IUREA 1Rezultatul principal al notei [1] esteurmătoareaPropoziţie. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi; atunci, pentru oricex ≥ 0, au loc inegalităţile:(a + b + c) 3 (x +1) 3 ≥ 27 [(a−b)(1−x)+c (1+x)] [(b−c)(1−x)+a (1+x)] ·· [(c − a)(1− x)+b (1 + x)] , (1)(a+b−c) x + b+c−ap(ax + b)(bx + c)(b + c) x + a + c√ + ax + b+(b+c−a) x + c+a−b (c+a−b) x + a+b−cp + p ≤ 3, (2)(bx + c)(cx + a) (cx + a)(ax + b)(a + b) x + c + b√ + √ ≥bx + ccx + a³ √ax √ √≥ 2 + b + bx + c + cx + a´, (3)(c + a) x + b + aÎn cele ce urmează, vom demonstra că inegalităţile (1), (2) şi (3) au loc pentruorice a, b, c numere reale pozitive.Cu substituţiile α =(a − b)(1− x) +c (1 + x), β =(b − c)(1− x) +a (1 + x)şi γ = (c − a)(1− x) +b (1 + x), observând că α + β + γ = (a + b + c)(1+x),inegalitatea (1) se scrie sub forma (α + β + γ) 3 ≥ 27αβγ (1 0 ). Dacă αβγ < 0,atunci (1 0 ) este evidentă. Dacă αβγ ≥ 0, cumα + β, β + γ şi γ + α sunt nenegative,rezultă că α, β, γ sunt nenegative şi atunci (1 0 ) urmează imediat din inegalitateamediilor (MA ≥ MG). Egalitatea se atinge pentru a = b = c şi x ∈ [0, ∞) oarecare.Notând ax + b = α 2 , bx + c = β 2 , cx + a = γ 2 ,cuα, β, γ > 0, inegalitatea (2)devineα 2 + β 2 − γ 2+ β2 + γ 2 − α 2+ α2 + γ 2 − β 2≤ 3αββγαγcare, după calcule, poate fi scrisă subformaα (α − β)(α − γ)+β (β − α)(β − γ)+γ (γ − α)(γ − β) ≥ 0.Aceasta este însă cunoscuta inegalitate Schur. Egalitatea se atinge când a = b = c.Folosind aceleaşi substituţii, inegalitatea (3) este echivalentă cuβ 2 + γ 2α+ α2 + β 2γ+ α2 + γ 2βcare rezultă prin sumarea inegalităţilor β2α + α2γ + γ2βα + β + γ. Egalitatea are loc pentru a = b = c.≥ 2(α + β + γ) ,≥ α + β + γ şiγ2α + β2γ + α2β ≥Bibliografie1. I. V. Maftei, M. Haivas - Tehnici de stabilire a unor inegalităţi geometrice,Recreaţii Matematice 1/2008, 22-23.1 Profesor, Liceul Teoretic "Dimitrie Cantemir", Iaşi124