Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

2b =0.Atunci(m + n)(m + n +1)af (1) + f (2) + ···+ f (m + n) = +(m + n) b =2(m + n)(−2b)= +(m + n) b =0.2VIII.82. Să searatecă |−3xy + x + y| ≤ 1, ∀x, y ∈ [0, 1].Ovidiu Pop, Satu MareSoluţie. Avem de arătat că −1 ≤−3xy + x + y ≤ 1, ∀x, y ∈ [0, 1]. Primainegalitate este echivalentă cu0 ≤ x (1 − y)+y (1 − x)+(1− xy), adevărată pentrux, y ∈ [0, 1] (toţi cei trei termeni sunt pozitivi). A doua inegalitate este echivalentăcu 0 ≤ (1 − x)(1− y)+2xy, dinnouadevărată pentrux, y ∈ [0, 1].VIII.83. Să searatecănuexistă x, y ∈ Z pentru care 147x 2 =1+4y − 3y 2 .Mihai Crăciun, i PaşcaniSoluţia 1. Scriem relaţia din enunţ subforma3h(7x) 2 + y 2 =4y +1. Oricepătrat perfect este sau M 4 ,sauM 4 +1;pentrux, y ∈ Z, paranteza pătrată esteM 4 ,M 4 +1 sau M 4 +2 şi atunci membrul stâng este M 4 , M 4 +3 sau M 4 +2. Cummembrul drept este M 4 +1,urmeazăconcluzia.Soluţia 2 (Ioan Stanciu, elev, Craiova). Dacă există x, y cu proprietăţilecerute, în mod necesar 1+4y − 3y 2 ≥ 0. Deducem că y ∈ {0, 1}, valori pentru carex nu este întreg.VIII.84. Laturile a, b, c ale unui triunghi verifică egalitatea 2 ¡ a 8 + b 8 + c 8¢ =¡a 4 + b 4 + c 4¢ 2.Săsearatecă triunghiul este dreptunghic.Corina Elena Vişan, CraiovaSoluţie. Avem succesiv:a 8 + b 8 + c 8 − 2a 4 b 4 − 2b 4 c 4 − 2c 4 a 4 =0⇔⇔ ¡ a 4 + b 4 − c 4¢ 2− 4a 4 b 4 =0⇔ ¡ a 4 + b 4 +2a 2 b 2 − c 4¢¡ a 4 + b 4 − 2a 2 b 2 − c 4¢ =0⇔³ ¡a⇔2 + b 2¢ 4´³ 2 ¡− c a 2 − b 2¢ 2− c4´=0⇔⇔ ¡ a 2 + b 2 + c 2¢¡ a 2 + b 2 − c 2¢¡ a 2 − b 2 + c 2¢¡ a 2 − b 2 − c 2¢ =0şi de aici concluzia.VIII.85. Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive, să searatecăpqa2 + b 2 − ab + b 2 + c 2 − bc √ 3= p a 2 + c 2 ⇔ 1 √3a + c = 2 b .Liviu Smarandache, CraiovaSoluţie. Fie [OA], [OB], [OC] trei segmente de lungimia, b, respectiv c, astfelîncâtm(\AOB) =60 ◦ ,iarm(\BOC) =30 ◦ .Avem:pqa2 + b 2 − ab + b 2 + c 2 − bc √ 3= p a 2 + c 2 ⇔⇔ p a 2 + b 2 − 2ab cos 60 ◦ + p b 2 + c 2 − 2bc cos 30 ◦ == p a 2 + c 2 ⇔ AB + BC = AC ⇔ A, B, C coliniare ⇔152