Revista (format .pdf, 1.2 MB) - Recreaţii Matematice

utină, rezultă că DN = a ¡ 3+ √ 3 ¢, DG = a ¡ 3+2 √ 3 ¢, şi atunci DN32DG = √ 3 − 1.În concluzie, DEDB = DN şi din reciproca teoremei lui Thales obţinem că NE k BG,DGprin urmare NE ⊥ AC, tocmai concluzia problemei (fig. 5).Soluţia 6. Folosim teorema sinusurilor în triunghiurile ABE şi BCD, obţinândBEcăsin 15 ◦ = ABsin 30 ◦ , respectiv BCsin 30 ◦ = BD . Se verifică prin calcul faptul căsin 75◦ sin 15 ◦ sin 30◦=sin 30◦ sin 75 ◦ ,deciBE AB = BCBD . Cum AB = BC şi \CBE ≡ \CBD, urmeazăcă4CBE ∼ 4DBC, prin urmare m(\BCE) =30 ◦ ,deundem( [ACE) =90 ◦ (fig. 4).Soluţia 7. Raportăm planul la un reper cu originea în M, unde M = AD ∩³BC; dacă a = AB, atunciA 0, a√ 3´, B³− a 0´ ³ a 0´2 2 , , C2 , , Dµ0, −a ¡ 2+ √ 3 ¢ .2Observăm că 4EAD este isoscel, deoarece m(\EAD) =m(\EDA)=15 ◦ , prin urmareordonata lui E va fi media aritmetică a ordonatelor punctelor A şi D, adică y E = − a 2 .Cum punctele B, E, D sunt coliniare, avem că y E − y B= x E − x B,deundex E =y D − y B x D − x Ba ¡ 1 − √ 3 ¢.PantadrepteiAC este m AC = y A − y C= − √ 3, iar panta dreptei CE2x A − x Ceste m CE = y C − y E= √ 1 şi, cum m AC · m CE = −1, rezultăcă CE ⊥ AC (fig. 4).x C − x E 3Soluţia 8. Folosim reperul din soluţia precedentă, lucrând însă cunumerecomplexe.Pentru simplitate, vom considera că AB =2;atunciC (1), B (−1), A ¡√ 3i ¢ ,D ¡ − ¡ 2+ √ 3 ¢ i ¢ . Cum BE√3 − 1ED = = k, avemz E = z B + kz D= ¡ 1 − √ 3 ¢ − i.21+kRezultă că z E − z C= i, prin urmare CE ⊥ AC (şi, în plus, CE = AC) (fig. 4).z A − z CSoluţia 9. Din BE√3 − 1ED = ,obţinem că −→ −→√CB +3−1−−→CE =2 CD21+ √ =3−12= 2 −→ ¡√ ¢ −−→CB + 3 − 1 CD −→ −→ 1³√ , deci CE · CA = √ 2 −→ −→ ¡√ ¢ −−→ −→CB · CA + 3 − 1 CD · CA´.3+13+1Însă −→ −→ CB · CA = CB · CA · cos 60 ◦ = a22 , −−→ CD · −→ ³ −→ −→CA = CA + AD´· −→ CA = CA 2 −√3+1AD · AC · cos \CAD = − a 2 −→ −→.Astfel, CE · CA =0, de unde CE ⊥ CA (fig. 4).2Notă. Soluţia 6 sugerează următoarea extindere:Se consideră 4ABC isoscel ( AB = BC) şi triunghiul BCD cu A, D în semiplaneopuse faţă deBC, iarm(\ABC) =2m(\BDC). Dacă E ∈ (BD) are proprietateacăsin αsin (α + β + x) = sin x 2sin ¡ ¢,β + x undeα = m(\BAE), β = m(\CBD) şi2x = m(\ABC), atunciCE ⊥ AC.Problema G133 se obţine pentru α =15 ◦ , β =75 ◦ şi x =60 ◦ .130