Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

VI.84. Pentru n ∈ N ∗ , definim A n = 1 + 11 + 111 + ···+11...1| {z }.Arătaţi că:a) 3| A n dacă şi numai dacă 3 - n − 1;nb) 10 n +1+ 9n10 < A 2n< 10 n +1+ 10nA n11 , ∀n ≥ 3. Temistocle Bîrsan, IaşiSoluţie. a) Restul împărţirii unui număr prin 3 este acelaşi cu restul împărţiriiprin 3 a sumei cifrelor sale. Rezultă că oricum am considera trei termeni consecutividin A n , ei vor fi de forma M 3 , M 3 +1şi M 3 +2(nu neapărat în această ordine)şiatunci suma lor se va divide cu 3.Dacă n =3k, grupând câte trei termenii lui A n , deducem că A. n 3. Dacă n =3k +1, atunci A n = M 3 +11...1| {z }= M 3 +1. Dacă n =3k +2, atunci A n =3k+1M 3 +11...1 = M 3 +(M 3 +1)+(M 3 +2)=M 3 şi de aici rezultă concluzia| {z }3k+1+11...1| {z }3k+2de la a).b) Observăm căA 2n =A n +11...1| {z }n+1³++ ···+11...1| {z }2n11 · 10 n +11...1| {z }n=A n (10 n +1)+n · 11 ...1´+ ···+| {z }n.³= A n +³11| {z...1}n10 n +11...1| {z }n´+·10 n +11...1| {z }nRezultă că A 2n=1+10 n 11 ...1+ n · şi rămâne să arătăm că 9A n A n 10∀n ≥ 3. Scrise dezvoltat, aceste inegalităţi revin la9 + 99 + 999 + ···+9...9| {z }n11 + 110 + 1100 + ···+110...0| {z }n−1´=< 10 + 100 + 1000 + ···+10...0| {z };n< 10 + 110 + 1110 + ···+11...1
să searatecă 4ABC este isoscel.Gheorghe Iurea, IaşiSoluţie. a) Folosind inegalitatea triunghiului în 4CDM,P ADM = AD + AM + DM < AD + AM +(DC + MC)== AD + DC +(AM + MC)=P ADC .b) Să presupunem prin absurd că AB 6= AC; să zicem căAB < AC şi fie M ∈ (AC) astfel încât AM = AB. Avemcă4ABD ≡ 4AMD (L.U.L), deci P ABD = P ADM
Page 1:
Anul X, Nr. 2Iulie - Decembrie 2008
Page 6:
A colaborat la elaborarea unui trat
Page 10 and 11: pământ primele capitole elevate d
Page 12 and 13: de "Gazeta Matematică".La 125 de a
Page 14 and 15: calendarul iudaic). De la data Conc
Page 16: mecanic virtual".CursulluiM.Tzony(
Page 22 and 23: Câteva probleme de teoria numerelo
Page 24 and 25: Soluţie. De astă dată, pe lâng
Page 26 and 27: Se demonstrează imediatcă H 1 H 2
Page 28 and 29: În scopul propus, să notăm x n =
Page 30 and 31: Cercuri semiînscriseşi puncte de
Page 32 and 33: O rafinare a inegalităţii lui Jen
Page 34 and 35: Asupra unor inegalităţi geometric
Page 36 and 37: Grupând convenabil, obţinem(3ab +
Page 38 and 39: Oproblemă şi ... nouăsoluţiiGhe
Page 40 and 41: utină, rezultă că DN = a ¡ 3+
Page 42 and 43: où µ, ν sont des réels arbitrai
Page 44 and 45: Concursul de matematică “Al. Myl
Page 46 and 47: 2. Determinaţi numerele n ∈ N, n
Page 48 and 49: din cele patru colţuri, se poate a
Page 50 and 51: două triunghiuri dreptunghice. Dac
Page 52 and 53: 1RRf (x) dx. Deducem că 2 1 Rx (f
Page 54 and 55: şi calculează câtenumerediferite
Page 56 and 57: a) Să searatecăînfermănupotfi10
Page 60 and 61: a) dacă a 3 − b 3 = a + b, atunc
Page 62 and 63: 2b =0.Atunci(m + n)(m + n +1)af (1)
Page 64 and 65: = x 1 x 2 − 2, de unde rezultă c
Page 66 and 67: g (x) =x 3 − e −x +1 este stric
Page 68 and 69: u 2 n +9. Deoarece (u n ) este conv
Page 70 and 71: a 0 a 2 Y 2n−1 + ···+ a 2n0 a
Page 72 and 73: Prin urmare, este suficient să dem
Page 74 and 75: când α =90 ◦ . În cazul nostru
Page 76 and 77: Apoi, să observăm că are loc ide
Page 78 and 79: aluik; pentru aceasta, ar trebui s
Page 80 and 81: Clasele primareProbleme propuse 1P.
Page 82 and 83: VI.98. Determinaţi cel mai mic num
Page 84 and 85: IX.94. În 4ABC, I este centrul cer
Page 86 and 87: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 88 and 89: L153. Găsiţi toate funcţiile f :
Page 90 and 91: L149. Determine the position of the
Page 92 and 93: 2. Să se rezolve sistemul de ecua
Page 95 and 96: Revista semestrială RECREAŢII MAT
show all

Revista (format .pdf, 1.2 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?